一、正則式（regular expression）

1.正則式定義：

ε表示語言{ε}，a表示語言{a}，(r)|(s)表示語言L(r)並L(s)，(r)(s)表示語言L(r)L(s)，(r)*表示語言(L(r))*

正則式優先順序為 閉包>連線>或，即((a)(b)*)|(c)寫為ab*|c 。

再給一些例子：(a|b)(a|b)定義的語言為{aa,ab,ba,bb}，(a|b)*定義為由a和b表示的所有串集。

2.C語言識別符號的正則定義：

letter_ → A|B|...|Z|a|b|...|z|_

digit→ 0|1|...|9

id→ letter_(letter_ | digit)*

3.正則式和上下文無關文法比較：

任何正則式都可寫出上下文無關文法（更準確地說為正規文法，即3型文法）。

如正則式 (a|b)*ab 一定能給出上下文無關文法（由於可以給出它的NFA，之後會介紹）

由正則式的NFA可得到上下文無關文法如下：

A0→ aA0 | bA0 | aA1    狀態0可由a轉換到狀態0，可由b轉換到狀態0，可由a轉換到狀態1。

A1→ bA2    狀態1可由b轉換到狀態2

A2→ε    狀態2為結束因此對應空串

二、有限自動機（finite automata）

1.非確定有限自動機（NFA）：

如需要識別語言 (a|b)*ab ，可引出如下非確定有限自動機

非確定有限自動機中，當前狀態與一個輸入能轉換到多個狀態，如狀態0輸入a後既能轉換到狀態0又能轉換到狀態1，上圖中兩個圈（狀態2）表示該狀態為結束狀態（可認為一到該狀態就返回成功識別）。

只要包含如下特徵任意一個就是非確定有限自動機：1.當前狀態與一個輸入對應多個轉換狀態，2.存在ε輸入。

非確定有限自動機用程式實現比較困難，因此需要變換為確定有限自動機。

注：如果結束狀態右邊加一個星號*則表示結束後還要吐出一個字元。

2.根據正規式畫非確定有限自動機：

r=ab： ， r=a|b： ， r=(a)*：

根據以上規則，可一步步得到正規式(a|b)*ab的NFA

->->

3.確定有限自動機（DFA）：

如需要識別語言 (a|b)*ab ，可引出如下確定有限自動機

必須滿足如下：1.當前狀態與一個輸入對應最多一個轉換狀態，2.不存在ε輸入。

因此確定有限自動機對應一個二維陣列

（狀態轉換圖，transition graph）

4.非確定有限自動機確定化（子集構造法）：

用一個例子說明，有如下非確定有限自動機表示 (a|b)*ab，將其確定化。

<1>——開始狀態能夠經過空轉換到達的合成一個狀態，即由0的ε閉包構成DFA的開始狀態A

A={0,1,2,4,7}

<2>——由A的a閉包狀態集合構成DFA狀態B

B={1,2,3,4,6,7,8}

<3>——由A的b閉包狀態集合構成DFA狀態C

C={1,2,4,5,6,7}

<4>——依次類推，直到沒有新狀態，最後得到

A={0,1,2,4,7}，B={1,2,3,4,6,7,8}，C={1,2,4,5,6,7}，D={1,2,4,5,6,7,9}

其中包含原NFA結束狀態9的必為現DFA的結束狀態。

例題1：

設有正則式 r = (a|ab) (a|b)* b

1.構造NFA，2.轉化為DFA，3.給出正規文法（3型文法）。

解：

（1）構造NFA比較容易，根據二.2直接給出答案。

（2）轉化為DFA，運用二.4子集構造法。

<1>——開始狀態空閉包

X0={S}

<2>——X0狀態a閉包

X1={A,B}

<3>——X0狀態b閉包無，再求X1狀態a閉包

X2={B}

<4>——X1狀態b閉包

X3={B,C}

<5>——求X2狀態a閉包（為X2），再求X2狀態b閉包（為X3），再求X3狀態a閉包（為X2），再求X3狀態b閉包（為X3），得到最終狀態轉換圖，即可畫出對應DFA。

（3）給出正規文法，即3型文法。

X0→ aX1                 X0狀態所有指向

X1→ aX2 | bX3        X1狀態所有指向

X2→ aX2 | bX3        X2狀態所有指向

X3→ aX2 | bX3 | ε    X3狀態所有指向，結束處要加一個空串