1970年，魯道夫·貝爾（R.Bayer）的先於紅黑樹提出了B樹。這種適用於外查詢的樹，是一種平衡的多叉樹，又稱B-樹。

B樹與紅黑樹最大的不同在於，B樹的結點可以有許多子女，從幾個到幾千個。那為什麼又說B樹與紅黑樹很相似呢？因為與紅黑樹一樣，一棵含n個結點的B樹的高度也為O（log₂ⁿ），但可能比一棵紅黑樹的高度小許多，應為它的分支因子比較大。所以，B樹可以在O（log₂ⁿ）時間內，實現各種如插入（insert），刪除（delete）等動態集合操作。

如下圖所示，即是一棵B樹，一棵關鍵字為英語中子音字母的B樹，現在要從樹中查詢字母R（包含n[x]個關鍵字的內結點x，x有n[x]+1]個子女（也就是說，一個內結點

相信，從上圖你能輕易的看到，一個內結點x若含有n個關鍵字，那麼x將含有n+1個子女。如含有2個關鍵字D H的內結點有3個子女，而含有3個關鍵字Q T X的內結點有4個子女。

一、B樹(B-樹)的概念

B 樹又叫平衡多路查詢樹。一棵m階的B 樹 (m叉樹）的特性如下：

1．  樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）；

2．  除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是一個向上去整的函式）；

3．  如果根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有一個根節點）；

4．  所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點不包含任何關鍵字資訊(可以看做是外部接點或查詢失敗的接點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指標都為null)；

5．  每個非終端結點中包含有n個關鍵字資訊： (n，P0，K1，P1，K2，P2，......，Kn，Pn)。其中：

a)         Ki (i=1...n)為關鍵字，且關鍵字按順序升序排序K(i-1)< Ki。

b)        Pi為指向子樹根的節點，且指標P(i-1)指向子樹種所有結點的關鍵字均小於Ki

c)        關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m / 2)-1]<= n <= m-1。

針對上面第5點，再闡述下：B樹中每一個結點能包含的關鍵字數有一個上界和下界。這兩個界可以用一個稱作B樹的最小度數t（t>=2）表示。

每個非根的結點必須至少含有t-1個關鍵字。每個非根的內結點至少有t個子女。如果樹是非空的，則根結點至少包含一個關鍵字；

每個結點可包含之多2t-1個關鍵字。所以一個內結點至多可有2t個子女。如果一個結點恰好有2t-1個關鍵字，我們就說這個結點是滿的（而稍後介紹的B*樹作為B樹的一種常用變形，B*樹中要求每個內結點至少為2/3滿，而不是像這裡的B樹所要求的至少半滿）；

當關鍵字數t=2（t=2的意思是，tmin=2，t可以>=2）時的B樹是最簡單的（有很多人會因此誤認為B樹就是二叉查詢樹，但二叉查詢樹就是二叉查詢樹，B樹就是B樹，B樹的真正最準確的定義為：一棵含有t（t>=2）個關鍵字的平衡多路查詢樹）。每個內結點可能因此而含有2個、3個或4個子女，亦即一棵2-3-4樹，然而在實際中，通常採用大得多的t值。

B樹中的每個結點根據實際情況可以包含大量的關鍵字資訊和分支（當然是不能超過磁碟塊的大小，根據磁碟驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在512B~4K左右）；這樣樹的深度降低了，這就意味著查詢一個元素只要很少結點從外存磁碟中讀入記憶體，很快訪問到要查詢的資料。

B樹的概念介紹完了，對於這麼複雜和抽象的演算法，要想把它吃透，只有拿出我們看家本領了，具體化：

為了簡單，這裡用少量資料構造一棵3叉樹的形式，實際應用中的B樹結點中關鍵字很多的。上面的圖中比如根結點，其中17比表示一個磁碟檔案的檔名；小紅方塊表示這個17檔案內容在硬碟中的儲存位置；p1表示指向17左子樹的指標。

其結構可以簡單定義為：

typedef struct {
    /*檔案數*/
    int  file_num;
    /*檔名(key)*/
    char * file_name[max_file_num];
    /*指向子節點的指標*/
     BTNode * BTptr[max_file_num+1];
     /*檔案在硬碟中的儲存位置*/
     FILE_HARD_ADDR offset[max_file_num];
}BTNode;

假如每個盤塊可以正好存放一個B樹的結點（正好存放2個檔名）。那麼一個BTNODE結點就代表一個盤塊，而子樹指標就是存放另外一個盤塊的地址。

下面，咱們來模擬下查詢檔案29的過程：

1．  根據根結點指標找到檔案目錄的根磁碟塊1，將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 1次】

2．  此時記憶體中有兩個檔名17、35和三個儲存其他磁碟頁面地址的資料。根據演算法我們發現17<29<35，因此我們找到指標p2。

3．  根據p2指標，我們定位到磁碟塊3，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 2次】

4．  此時記憶體中有兩個檔名26，30和三個儲存其他磁碟頁面地址的資料。根據演算法我們發,26<29<30，因此我們找到指標p2。

5．  根據p2指標，我們定位到磁碟塊8，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟IO操作 3次】

6．  此時記憶體中有兩個檔名28，29。根據演算法我們查詢到文,29，並定位了該檔案記憶體的磁碟地址。

分析上面的過程，發現需要3次磁碟IO操作和3次記憶體查詢操作。關於記憶體中的檔名查詢，由於是一個有序表結構，可以利用折半查詢提高效率。至於IO操作時影響整個B樹查詢效率的決定因素。

當然，如果我們使用平衡二叉樹的磁碟儲存結構來進行查詢，磁碟4次，最多5次，而且檔案越多，B樹比平衡二叉樹所用的磁碟IO操作次數將越少，效率也越高。

二、B+樹的概念

B+樹是應檔案系統所需而產生的一種B-tree的變形樹。一棵m階的B+樹和m階的B樹的差異在於：

1．  有n棵子樹的結點中含有n個關鍵字； (而B 樹是n棵子樹有n-1個關鍵字)

2．  所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的資訊，及指向含有這些關鍵字記錄的指標，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大的順序連結。 (而B 樹的葉子節點並沒有包括全部需要查詢的資訊)

3．  所有的非終端結點可以看成是索引部分，結點中僅含有其子樹根結點中最大（或最小）關鍵字。 (而B 樹的非終節點也包含需要查詢的有效資訊)

為什麼說B+-tree比B 樹更適合實際應用中作業系統的檔案索引和資料庫索引？

（1）B+-tree的磁碟讀寫代價更低

B+-tree的內部結點並沒有指向關鍵字具體資訊的指標。因此其內部結點相對B 樹更小。如果把所有同一內部結點的關鍵字存放在同一盤塊中，那麼盤塊所能容納的關鍵字數量也越多。一次性讀入記憶體中的需要查詢的關鍵字也就越多。相對來說IO讀寫次數也就降低了。

舉個例子，假設磁碟中的一個盤塊容納16bytes，而一個關鍵字2bytes，一個關鍵字具體資訊指標2bytes。一棵9階B-tree(一個結點最多8個關鍵字)的內部結點需要2個盤快。而B+ 樹內部結點只需要1個盤快。當需要把內部結點讀入記憶體中的時候，B 樹就比B+ 樹多一次盤塊查詢時間(在磁碟中就是碟片旋轉的時間)。

（2）B+-tree的查詢效率更加穩定

由於非終結點並不是最終指向檔案內容的結點，而只是葉子結點中關鍵字的索引。所以任何關鍵字的查詢必須走一條從根結點到葉子結點的路。所有關鍵字查詢的路徑長度相同，導致每一個數據的查詢效率相當。

B+-tree的應用：VSAM(虛擬儲存存取法)檔案(來源論文 the ubiquitous Btree 作者：D COMER - 1979 )

三、B*樹的概念

B*樹是B+樹的變體，在B+ 樹非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指標；B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）。給出了一個簡單例項，如下圖所示：

B+樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，並將原結點中1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標。

B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標。

所以，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高。