2. 程式人生 > >平衡二叉樹(AVL)的插入和刪除詳解(上)

平衡二叉樹(AVL)的插入和刪除詳解(上)

阿新 • • 發佈：2018-12-25

在電腦科學中，AVL樹是最先發明的自平衡二叉查詢樹。在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為1，所以它也被稱為高度平衡樹。查詢、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O（log n）。增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。AVL樹得名於它的發明者G.M. Adelson-Velsky和E.M. Landis，他們在1962年的論文《An algorithm for the organization of information》中發表了它。

原理請看上面維基百科詞條，可以參考嚴蔚敏資料結構或其它書籍，這裡就不對原理做過多解釋了，下面將直接給出其實現，程式碼有詳細註釋。

1、基本約定

使用平衡二叉樹就是為了高效的查詢，一般是根據關鍵字查詢記錄，而記錄一般是複雜的型別物件。這裡我們以一個Student類作為記錄型別，學號作為關鍵字。

我們假定所使用的元素型別，都能進行各種比較和賦值。用LH，EH，RH分別表示左子樹高，等高，右子樹高，即平衡因子-1、0、1。

#define LH +1 //左高 
#define EH 0  //等高
#define RH -1 //右高

#define EQ(a,b) ((a) == (b))
#define LT(a,b) ((a) < (b))
#define LQ(a,b) ((a) <= (b))

//結點元素型別 
typedef struct Student
{
	int key;
	string major;
	Student(){}
	Student(int k,string s) : key(k), major(s){}
}ElementType;

ostream& operator<<(ostream& out, const Student& s)
{
	out<<"("<<s.key<<","<<s.major<<")";
	return out;
}

istream& operator>>(istream& in,Student& s)
{
	in>>s.key>>s.major;
}

typedef int KeyType;//關鍵字型別 

typedef struct AVLNode
{
	ElementType data;
	int bf;
	struct AVLNode* lchild;
	struct AVLNode* rchild;
	
	AVLNode(){}
	AVLNode(ElementType& e, int ibf=EH, AVLNode* lc=NULL, AVLNode* rc=NULL)
		: data(e), bf(ibf), lchild(lc),rchild(rc){}
}AVLNode, *AVL;

2、初始化、銷燬

/*
  *Description: 初始化(其實可以不用)
*/
void initAVL(AVL& t)
{
	t = NULL;
}

/*
  *Description: 銷燬平衡二叉樹 
*/
void destroyAVL(AVL& t)
{
	if(t)
	{
		destroyAVL(t->lchild);
		destroyAVL(t->rchild);
		delete t;
		t = NULL;
	}
}
3、遍歷和查詢
//前序遍歷
void preOrderTraverse(AVL t)
{
	if(t)
	{
		cout<<t->data<<" ";
		preOrderTraverse(t->lchild);
		preOrderTraverse(t->rchild);
	}
} 

//中序遍歷
void inOrderTraverse(AVL t)
{
	if(t)
	{
		inOrderTraverse(t->lchild);
		cout<<t->data<<" ";
		inOrderTraverse(t->rchild);
	}
} 

//以前序和中序輸出平衡二叉樹
void printAVL(AVL t)
{
	cout<<"inOrder: "<<endl;
	inOrderTraverse(t);
	cout<<endl;
	cout<<"preOrder: "<<endl;
	preOrderTraverse(t);
	cout<<endl;
}
 
/*
  Description: 
		在根指標t所指平衡二叉樹中遞迴地查詢某關鍵字等於key的資料元素， 
		若查詢成功，則返回指向該資料元素結點的指標,否則返回空指標。
		根據需要，也可以返回一個bool值 
*/
AVLNode* searchAVL(AVL& t, KeyType key)
{
	if((t == NULL)||EQ(key,t->data.key))
		return t; 
   	else if LT(key,t->data.key) /* 在左子樹中繼續查詢 */
     	return searchAVL(t->lchild,key);
   	else
     	return searchAVL(t->rchild,key); /* 在右子樹中繼續查詢 */
}

4、旋轉處理

左旋和右旋，大家記住“左逆右順”就可以了。

(1)左旋-逆時針旋轉(如RR型就得對根結點做該旋轉)

/*
  Description: 
		對以*p為根的二叉排序樹作左旋處理，處理之後p指向新的樹根結點，即旋轉 
		處理之前的右子樹的根結點。也就是書上說說的RR型. 
*/
void L_Rotate(AVLNode* &p)
{
	AVLNode * rc = NULL;
	rc = p->rchild;			//rc指向p的右子樹根結點
	p->rchild = rc->lchild;//rc的左子樹掛接為p的右子樹 
	rc->lchild = p;
	p = rc;					//p指向新的根結點 
}

(2)右旋-順時針旋轉(如LL型就得對根結點做該旋轉)

/*
  Description:
		對以*p為根的二叉排序樹作右旋處理，處理之後p指向新的樹根結點，即旋轉 
		處理之前的左子樹的根結點。也就是書上說說的LL型. 
*/
void R_Rotate(AVLNode* &p)
{ 
	AVLNode * lc = NULL;
	lc  = p->lchild;		//lc指向p的左子樹根結點
	p->lchild = lc->rchild;	//lc的右子樹掛接為p的左子樹 
	lc->rchild = p;
	p = lc;					//p指向新的根結點 
}

5、左平衡處理

所謂左平衡處理，就是某一根結點的左子樹比右子樹過高，從而失去了平衡。

(1)插入時如果需要左平衡處理，根結點左子樹根平衡因子只可能為LH和RH。

(2)刪除和插入不同，根結點左子樹根的平衡因子三種情況都可能出現，因為是刪除根結點右子樹中的結點從而引起左子樹過高，在刪除前，根結點左子樹根的平衡因子是可以為EH的，此種情況同樣是對根結點做簡單右旋處理。

/*對以指標t所指結點為根的二叉樹作左平衡旋轉處理
	包含LL旋轉和LR旋轉兩種情況 
	平衡因子的改變其實很簡單，自己畫圖就出來了 
*/
void leftBalance(AVLNode* &t)
{
	AVLNode* lc = NULL;
	AVLNode* rd = NULL;
	lc = t->lchild;
	switch(lc->bf)
	{
		case LH:					//LL旋轉 
			t->bf = EH;
			lc->bf = EH;
			R_Rotate(t);		
			break;
		
		case EH:					//deleteAVL需要，insertAVL用不著 
			t->bf = LH;
			lc->bf = RH;
			R_Rotate(t);
			break;
		
		case RH:					//LR旋轉 
			rd = lc->rchild;
			switch(rd->bf)
			{
				case LH:
					t->bf = RH;
					lc->bf = EH;
					break;	
				case EH:
					t->bf = EH;
					lc->bf = EH;
					break;
				case RH:
					t->bf = EH;
					lc->bf = LH;
					break;
			}
			rd->bf = EH;
			L_Rotate(t->lchild);//不能寫L_Rotate(lc);採用的是引用引數 
			R_Rotate(t);
			break;
	}
}

6、右平衡處理

類似左平衡處理，所謂右平衡處理，就是某一根結點的右子樹比左子樹過高，從而失去了平衡。

(1)插入時如果需要右平衡處理，根結點右子樹根平衡因子只可能為LH和RH。

(2)刪除和插入不同，根結點右子樹根的平衡因子三種情況都可能出現，因為是刪除根結點左子樹中的結點從而引起右子樹過高，在刪除前，根結點右子樹根的平衡因子是可以為EH的，此種情況同樣是對根結點做簡單左旋處理。

/*對以指標t所指結點為根的二叉樹作右平衡旋轉處理
	包含RR旋轉和RL旋轉兩種情況 
*/
void rightBalance(AVLNode* &t)
{
	AVLNode* rc = NULL;
	AVLNode *ld = NULL;
	
	rc = t->rchild;
	switch(rc->bf)
	{
		case LH:				//RL旋轉 
			ld = rc->lchild; 
			switch(ld->bf)
			{
				case LH:
					t->bf = EH;
					rc->bf = RH;
					break;
				case EH:
					t->bf = EH;
					rc->bf = EH;
					break;
				case RH:
					t->bf = LH;
					rc->bf = EH;
					break;
			}
			ld->bf = EH;
			R_Rotate(t->rchild);//不能寫R_Rotate(rc);採用的是引用引數 
			L_Rotate(t);
			break;
			
		case EH:				//deleteAVL需要，insertAVL用不著 
			t->bf = RH;
			rc->bf = LH;
			L_Rotate(t);
			break;
				
		case RH:				//RR旋轉 
			t->bf = EH;
			rc->bf = EH;
			L_Rotate(t);
			break;
	}
}

7、插入處理

在插入一個元素時，總是插入在一個葉子結點上。我們採用遞迴插入，也就是不斷搜尋平衡二叉樹，找到一個合適的插入點(當然相同關鍵字不插入)。插入後，引起的第一個不平衡的子樹的根結點，一定是在查詢路徑上離該插入點最近的，注意看程式碼中遞迴後的回溯。

/* 
若在平衡的二叉排序樹t中不存在和e有相同關鍵字的結點，則插入一個 
資料元素為e的新結點，並返回true，否則返回false。若因插入而使二叉排序樹 
失去平衡，則作平衡旋轉處理，布林變數taller反映t長高與否
*/
bool insertAVL(AVL& t, ElementType& e, bool& taller)
{
	if(t == NULL)
	{
		t = new AVLNode(e);				//插入元素 
		taller = true;
	}
	else
	{
		if(EQ(e.key, t->data.key))		//樹中已含該關鍵字，不插入 
		{
			taller = false;
			return false;
		}
		else if(LT(e.key, t->data.key))//在左子樹中查詢插入點 
		{
			if(!insertAVL(t->lchild, e, taller))//左子樹插入失敗 
			{
				return false;
			}
			if(taller)					//左子樹插入成功，且左子樹增高 
			{
				switch(t->bf)
				{
					case LH:			//原來t的左子樹高於右子樹 
						leftBalance(t); //做左平衡處理 
						taller = false;
						break;
					case EH:			//原來t的左子樹和右子樹等高 
						t->bf = LH;		//現在左子樹比右子樹高 
						taller = true;	//整棵樹增高了 
						break;
					case RH:			//原來t的右子樹高於左子樹
						t->bf = EH;		//現在左右子樹等高 
						taller = false;
						break;
				}
			}
		}
		else							//在右子樹中查詢插入點 
		{
			if(!insertAVL(t->rchild, e, taller))//右子樹插入失敗 
			{
				return false;
			}
			if(taller)					//右子樹插入成功，且右子樹增高
			{
				switch(t->bf)
				{
					case LH:			//原來t的左子樹高於右子樹 
						t->bf = EH;
						taller = false;
						break;
					case EH:			//原來t的左子樹和右子樹等高 
						t->bf = RH;
						taller = true;
						break;
					case RH:			//原來t的右子樹高於左子樹
						rightBalance(t);//做右平衡處理
						taller = false;
						break;
				}
			}
		}
	}
	return true;						//插入成功 
}

8、刪除處理

刪除和插入不同的是，刪除的結點不一定是葉子結點，可能是樹中的任何一個結點。前面在講解二叉查詢樹時，我們知道刪除的結點可能有三種情況：(1)為葉子結點，(2)左子樹或右子樹有一個為空，(3)左右子樹都不空。對第三種情況的處理我們介紹了三種處理方式，這裡我們採用刪除前驅的方式。注意到我們仍然採用的是遞迴刪除，然後判斷刪除後樹是否“變矮”了，然後進行相應的處理。對(1)(2)中情況，很好處理，樹的確是“變矮”了。對於第(3)種情況，我們不能直接找到前驅結點，然後把資料拷貝到原本要刪除的根結點，最後直接刪除前驅結點。因為這麼做，我們無法判斷原先根結點子樹高度的變化情況。所以我們在找到前驅結點後，不是直接刪除，而是採用在根結點左子樹中遞迴刪除前驅的方式。

/* 
若在平衡的二叉排序樹t中存在和e有相同關鍵字的結點，則刪除之 
並返回true，否則返回false。若因刪除而使二叉排序樹 
失去平衡，則作平衡旋轉處理，布林變數shorter反映t變矮與否
*/
bool deleteAVL(AVL& t, KeyType key, bool& shorter)
{
	if(t == NULL)						//不存在該元素 
	{
		return false;					//刪除失敗 
	}
	else if(EQ(key, t->data.key))		//找到元素結點
	{
		AVLNode* q = NULL;
		if(t->lchild == NULL)			//左子樹為空 
		{
			q = t;
			t = t->rchild;
			delete q;
			shorter = true;
		}
		else if(t->rchild == NULL)		//右子樹為空 
		{
			q = t;
			t = t->lchild;
			delete q;
			shorter = true;
		}
		else							//左右子樹都存在,
		{
			q = t->lchild;
			while(q->rchild)
			{
				q = q->rchild;
			}
			t->data = q->data;
			deleteAVL(t->lchild, q->data.key, shorter);	//在左子樹中遞迴刪除前驅結點 
		}
	}
	else if(LT(key, t->data.key))		//左子樹中繼續查詢 
	{
		if(!deleteAVL(t->lchild, key, shorter))
		{
			return false;
		}
		if(shorter)
		{
			switch(t->bf)
			{
				case LH:
					t->bf = EH;
					shorter = true;
					break;
				case EH:
					t->bf = RH;
					shorter = false;
					break;
				case RH:
					rightBalance(t);	//右平衡處理
					if(t->rchild->bf == EH)//注意這裡，畫圖思考一下 
						shorter = false;
					else
						shorter = true;
					break;
			}
		}
	}
	else								//右子樹中繼續查詢 
	{
		if(!deleteAVL(t->rchild, key, shorter))
		{
			return false;
		}
		if(shorter)
		{
			switch(t->bf)
			{
				case LH:
					leftBalance(t);		//左平衡處理 
					if(t->lchild->bf == EH)//注意這裡，畫圖思考一下 
						shorter = false;
					else
						shorter = true;
					break;
				case EH:
					t->bf = LH;
					shorter = false;
					break;
				case RH:
					t->bf = EH;
					shorter = true;
					break;
			}
		}
	}
	return true;
}

注：

(1)在平衡二叉樹(AVL)插入和刪除詳解(下)中給出測試程式碼和測試用例，並給出了一個涵蓋所有情況的圖例。

(2)也許大家難以理解的是插入和刪除過程中，平衡因子的變化。其實，插入和刪除都是遞迴進行的，平衡因子的變化是在遞歸回溯過程中，自底向上改變的，至於怎麼改變，把幾種情況弄清楚之後，畫圖就出來了。

參考資料：

[1]嚴蔚敏 資料結構(C語言版)

相關推薦

平衡二叉樹(AVL)的插入和刪除詳解(上)

在電腦科學中，AVL樹是最先發明的自平衡二叉查詢樹。在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度最大差別為1，所以它也被稱為高度平衡樹。查詢、插入和刪除在平均和最壞情況下都是O（log n）。增加和刪除可能需要通過一次或多次樹旋轉來重新平衡這個樹。AVL樹得名於它的發明者G.M.

C/C++實現平衡二叉樹的插入、刪除、查詢和各種遍歷

1 平衡二叉樹的插入      關於平衡二叉樹的定義什麼的，就不再多說。直接說說各種功能的c語言實現。 首先插入的時候需要進行旋轉以保證樹始終保持平衡。而旋轉的型別有四種：L-L型旋轉，L-R型旋轉，R-L型旋轉，R-R型旋轉。其中L-L型和R-R型只需要進行一次基本旋轉操作

二叉樹的插入和刪除

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>int flag=1;//定義標籤，用於show（）只顯示一次樹的根結點typedef struct tree{ int data; struct tree *lchild; struct tree *rchild;

二叉查詢樹的插入和刪除詳解

(1)  左子樹不空，則左子樹上的所有結點的值均小於根結點的值 (2)  右子樹不空，則右子樹上的所有結點的值均大於根結點的值 二叉查詢樹可以為空，二叉查詢樹是遞迴定義的，也就是說其左右子樹也為二叉查詢樹。 二叉查詢樹是一種動態查詢表，可以進行動態地插入和刪除。前面的定義

[Java]平衡二叉樹的插入與刪除

平衡二叉樹是一種特殊的排序二叉樹（對於每個結點來說，左子樹中所有結點的值 < 結點值 < 右子樹中所有結點的值），樹的左右結點高度（到葉子結點需要經過的最大結點數）差小於2。對一顆平衡二叉樹進行中序遍歷可以順序輸出所有節點的值，對樹進行查詢時類似二分查詢，時間複雜度為log(n)。

C語言實現二叉樹的插入和刪除

二叉樹的插入刪除：//首先介紹二叉樹的插入：     //首先需要明白插入的規則：每個建好的結點p都需要從跟結點開始與根結點相比較資料域，如果根結點的資料域小於結點p，則接著將結點p與根結點的右子樹相比較，否則p將與根結點的左子樹相比較；     //繼續往下類推，一直到最後

平衡二叉樹的插入與刪除

定義 AVL樹是帶有平衡條件的二叉查詢樹。它要求在AVL樹中任何節點的兩個子樹的高度(高度是指節點到一片樹葉的最長路徑的長) 最大差別為1,如下圖所示: 為什麼有AVL樹 大多數BST操作，例如查詢，找最大，最小值，插入，刪除等操作，基本上消耗O(

平衡二叉樹的插入和旋轉

平衡二叉樹定義(AVL)：它或者是一顆空樹，或者具有以下性質的二叉樹：它的左子樹和右子樹的深度之差的絕對值不超過1，且它的左子樹和右子樹都是一顆平衡二叉樹。  //關於樹的一些概念上的糾正： 1.樹的深度是從根節點開始（其深度為1）自頂向下逐層累加的，而高度是從葉節點開始（

平衡二叉樹AVL的插入及刪除操作

轉載於https://blog.csdn.net/sysu_arui/article/details/7897017 及https://blog.csdn.net/sysu_arui/article/details/7906303  AVL樹維基百科：http://zh.wikiped

c++實現二叉樹的插入、刪除、查詢、遍歷和樹形列印

binary_tree.h 宣告 #ifndef BINARY_TREE #define BINARY_TREE #include "util.h" template<typename T> class tree_node { public: tree_

平衡二叉樹 AVL 的插入節點後旋轉方法分析

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>struct AVLNode;typedef struct AVLNode *AVLNodePtr;struct AVLNode {     int element;     AVLNodePtr left;  

平衡二叉樹(AVL)的插入操作

平衡二叉樹(Balanced binary tree)是由阿德爾森-維爾斯和蘭迪斯(Adelson-Velskii and Landis)於1962年首先提出的，所以又稱為AVL樹。 定義：平衡二叉樹或為空樹,或為如下性質的二叉排序樹: （1）左右子樹深度之差的絕對值

【資料結構】平衡二叉樹[AVL樹](二)——刪除

前面介紹了平衡二叉樹的插入操作：平衡二叉樹的插入，這裡來介紹平衡二叉樹的刪除，平衡二叉樹是一棵帶有平衡條件的二叉查詢樹，其刪除操作是在二叉查詢樹的基礎上新增平衡調整演算法。 先看一下示意圖（） /*二叉查詢樹的性質讓我們可以很方便的查詢最小最大鍵值*/ /*查詢最小鍵

AVL-平衡二叉樹的原理和實現

一、簡介 　　本文將通過圖解和程式碼詳細講解AVL平衡二叉樹的性質及失衡和再平衡的內容。在看本文之前希望大傢俱備二分搜尋樹的相關知識。或移步《二分搜尋樹》瞭解二分搜尋樹。   二、平衡二叉樹 　　前面關於二分搜尋樹的文章，最後分析了在極端情況下，二分搜尋樹會退化為一個連結串列，那為了避免這種

平衡二叉樹AVL樹的實現(c++STL)

pre 根節點 code 先序 blog ltr ons void 過程 #include <iostream> using namespace std; template<class Type> class AVLtree;

數據結構 平衡二叉樹avl c++

歸納 all AI 例子 大於 樹節點 fin 深度 UC 平衡二叉樹：一顆空樹，或者是具有以下性質的二叉樹 左子樹和右子樹都是平衡二叉樹 左子樹和右子樹的深度只差不超過1 把二叉樹節點的平衡因子BF(Balance Factor)定義為該節點的左子樹深度減去右子樹深度

平衡二叉樹-AVL樹(LL、RR、LR、RL旋轉)

二叉 導致 -a tro ima 作用 及其 數字 因此 平衡二叉樹的定義： 　　任意的左右子樹高度差的絕對值不超過1，將這樣的二叉樹稱為平衡二叉樹，二叉平衡樹前提是一個二叉排序樹。 平衡二叉樹的插入： 　　二叉平衡樹在插入或刪除一個結點時，先檢查該操作是否導致了樹的不平衡

資料結構之－平衡二叉樹(AVL)

背景 不同結構的二叉查詢樹，查詢效率有很大的不同。如何解決這個問題呢？關鍵在於如何最大限度的減小樹的深度。正是基於這個想法，平衡二叉樹出現了。 前言 平衡二叉搜尋樹（英語：Balanced Binary Tree）是一種結構平衡的二叉搜尋樹。 它能在O(log n)時間內完成插入、查詢和

演算法導論 之 平衡二叉樹 - 建立 插入 查詢 銷燬 - 遞迴 C語言

分享一下我老師大神的人工智慧教程！零基礎，通俗易懂！http://blog.csdn.net/jiangjunshow 也歡迎大家轉載本篇文章。分享知識，造福人民，實現我們中華民族偉大復興！        

【轉】平衡二叉樹(AVL)

平衡二叉樹的定義 （AVL—— 發明者為Adel'son-Vel'skii 和 Landis） 平衡二叉查詢樹(AVL樹)，具備二叉查詢樹的特點外，還具有一個重要特點: 它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹，並且左子樹和右子樹的平衡因子不超過1 (也就是每個節點的平衡因子只能是1,0,-1