樹堆（Treap）圖文詳解與實現
1.Treap的定義
樹堆（Treap）是二叉排序樹（Binary Sort Tree）與堆（Heap）結合產生的一種擁有堆性質的二叉排序樹。
但是這裡要注意兩點，第一點是Treap和二叉堆有一點不同，就是二叉堆必須是完全二叉樹，而Treap並不一定是；第二點是Treap並不嚴格滿足平衡二叉排序樹（AVL樹）的要求，即樹堆中每個節點的左右子樹高度之差的絕對值可能會超過1，只是近似滿足平衡二叉排序樹的性質。
Treap每個節點記錄兩個資料，一個是鍵值，一個是隨機附加的優先順序，Treap在以關鍵碼構成二叉排序樹的同時，又以結點優先順序形成最大堆和最小堆。所以Treap必須滿足這兩個性質，一是二叉排序樹的性質，二是堆的性質。如下圖，即為一個樹堆。
2.Treap的特點
Treap因在BST中加入了堆的性質，在以隨機順序將節點插入二叉排序
樹時，根據隨機附加的優先順序以旋轉的方式維持堆的性質，其特點是能基本實現隨機平衡的結構。相對於其他的平衡二叉搜尋樹，優點是實現簡單，因為Treap維護堆性質的方法只用到了旋轉，只需要兩種旋轉，易於維護，可用於高效快速查詢。
3.Treap的操作
3.1Treap的插入
給節點隨機分配一個優先順序，先和二叉排序樹（又叫二叉搜尋樹）的插入一樣，先把要插入的點插入到一個葉子上，然後再維護堆的性質。
以最小堆為例，如果當前節點的優先順序比其根節點小就旋轉。如果當前節點是根的左子節點就右旋。如果當前節點是根的右子節點就左旋。 即左旋能使根節點轉移到左邊，右旋能使根節點轉移到右邊。
下圖中，當X節點優先順序小於Y節點時右旋和Y節點優先順序小於X節點的左旋，其左右旋轉如下圖：
插入寫成遞迴形式的話，只需要在遞迴呼叫完成後判斷是否滿足堆性質，如果不滿足就旋轉，實現相對簡單。其插入過程示例圖如下：
時間複雜度：
由於旋轉是O(1)的，最多進行h次(h是樹的高度)，插入的複雜度是O(h)的，在期望情況下h=O(log n)，所以它的期望複雜度是O(log n)。
3.2Treap的刪除
（1）找到相應的結點；
（2）若該結點為葉子結點，則直接刪除；
（3）若該結點為只包含一個葉子結點的結點，則將其葉子結點賦值給它；
（4）若該結點為其他情況下的節點，則進行相應的旋轉，具體的方法就是每次找到優先順序最小的兒子，向與其相反的方向旋轉，直到該結點為上述情況之一，然後進行刪除。
時間複雜度：
最多進行O(h)次旋轉，期望複雜度是O(log n)。
3.3Treap的查詢
根據Treap具有二叉搜尋樹的性質，可以快速查詢所需節點。
時間複雜度：
期望複雜度是O(log n)。
4 資料結構的設計
結點採用結構體儲存，定義如下：
struct node
{
int key;//關鍵字
int priority;//隨機優先順序
node* left;//左節點
node* right;//右節點
};5.具體實現
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
typedef struct node Node;
typedef struct treap_t Treap;
typedef Node* nodePoint;
struct node
{
int key;//關鍵字
int priority;//隨機優先順序
Node* left;//左節點
Node* right;//右節點
};
Node* root;//Treap的根結點
//左旋轉
void rotate_left(Node* &node)
{
Node* x = node->right;
node->right = x->left;
x->left =node;
node = x;
}
//右旋轉
void rotate_right(Node* &node)
{
Node* x = node->left;
node->left = x->right;
x->right = node;
node = x;
}
//插入操作
void treap_insert(Node* &root, int key, int priority)
{
//根為NULL，則直接建立此結點為根結點
if (root == NULL)
{
root = (Node*)new Node;
root->left = NULL;
root->right = NULL;
root->priority = priority;
root->key = key;
}
//向左插入結點
else if (key <root->key)
{
treap_insert(root->left, key, priority);
if (root->left->priority < root->priority)
rotate_right(root);
}
//向左插入結點
else
{
treap_insert(root->right, key, priority);
if (root->right->priority < root->priority)
rotate_left(root);
}
}
//刪除結點操作
void treap_delete(Node* &root, int key)
{
if (root != NULL)
{
if (key < root->key)
treap_delete(root->left, key);
else if (key > root->key)
treap_delete(root->right, key);
else
{
//左孩子為空
if (root->left == NULL)
root = root->right;
//右孩子為空
else if (root->right == NULL)
root = root->left;
//左右孩子均不為空
else
{
//先旋轉，然後再刪除
if (root->left->priority < root->right->priority)
{
rotate_right(root);
treap_delete(root->right, key);
}
else
{
rotate_left(root);
treap_delete(root->left,key);
}
}
}
}
}
//中序遍歷
void in_order_traverse(Node* root)
{
if (root!= NULL)
{
in_order_traverse(root->left);
printf("%d\t", root->key);
in_order_traverse(root->right);
}
}
//計算樹的高度
int depth(Node* node)
{
if(node == NULL)
return -1;
int l = depth(node->left);
int r = depth(node->right);
return (l < r)?(r+1):(l+1);
}
int main()
{
srand(time(0));
//產生最大偽隨機數0至RAND_MAX(32767)
//printf("%d\n",RAND_MAX);
//隨機插入10個節點
printf("----------------------建立Treap樹堆-----------------------\n");
printf("順序插入0至9十個數，鍵值與優先順序如下\n");
for (int i = 0; i < 10; i++)
{
int pri=rand();
printf("key:%d priority:%d\n",i,pri);
treap_insert(root,i,pri);
}
//中序遍歷Treap
printf("\n插入完畢，中序遍歷Treap所得結果為:\n");
in_order_traverse(root);
printf("\nTreap高度：%d\n", depth(root));
printf("----------------------刪除結點-----------------------\n");
printf("請輸入要刪除的結點鍵值\n");
int rmKey;
scanf("%d",&rmKey);
treap_delete(root, rmKey);
printf("\n刪除完畢，中序遍歷Treap所得結果為:\n");
in_order_traverse(root);
printf("\nTreap高度：%d\n", depth(root));
getchar();
getchar();
return 0;
}執行結果截圖：
