目錄

》樹狀陣列的定義《

》樹狀陣列的構建《

》正式開始建造《

》區間和《

》板《

》樹狀陣列的定義《

樹狀陣列(Binary Indexed Tree(B.I.T)也稱作Fenwick Tree)是一個區間查詢和單點修改複雜度都為log(n)的資料結構。主要用於查詢任意兩點之間的所有元素之和。

如圖：樹狀陣列

》樹狀陣列的構建《

A為原陣列，C為樹狀陣列，那麼問題來了，如何構建樹狀陣列呢？

首先，我們觀察一下每一個i的二進位制

我們可以發現，2是1的父節點，4是2的父節點，又是3的父節點，那麼，如何找一個節點的父節點呢？

其實我們可以找到一下規律：1 + 1 = 2，沒錯吧（廢話）    2 + 2 = 4 ， 3 + 1 = 4， 5 + 1 = 6 ， 6 + 2 =8 ， 7 + 1 = 8

來吧，上表格

相信有的讀者已經找出了規律，沒找出的也不要著急，接下來我們把 i 的二進位制位與差值的二進位制位來比較（來了！來了!）

怎麼樣，是不是一目瞭然，將 i 的二進位制位與 差的二進位制位 進行比較，我們可以發現 i 與它的父節點的差值就是 i的二進位制位從右往左數第一個1出現的二進位制位所表示的值，我們稱之為lowbit（i） ，舉個例子，lowbit（6） = 2（二進位制位10），因為6的二進位制位為 110，所以從左往右數第1個1出現的位置為2（從左往右），所以lowbit（6）= 2（十進位制）= 10（二進位制）。再舉個例子，7，因為7的二進位制位為111，所以lowbit（7）=1（自己照上面的推）。

那麼，如何確定lowbit（i）呢?

我們先來熟悉一下位運算中的按位與&：0 & 0=0        0 & 1=0        1 & 0=0       1 & 1=1

二進位制位上相同的就得相同的，不同的都為1，簡單來說只有1&1時，值為1，其他都為零

1、法一

程式碼

#define lowbit(x) (x-(x&(x-1))
//或者如下
int lowbit(int x){
    return (x-(x&(x-1));
}

說明：x的二進位制可以看做A1B(A是最後一個1之前的部分，B是最後一個1之後的0)

            x-1的二進位制可以看做A0C(C是和B一樣長的1)

            x & (x - 1)的二進位制就是A1B & A0C = A0B

            x – (x & (x - 1))的二進位制就是A1B – A0B = 0…0(長A個0）10…0（長B個0）

2、法二

程式碼

#define lowbit(x) (x&(-x))
//或者如下
int lowbit(int x){
    return (x&(-x));
}

例如：lowbit(22)=2（實在不好推，只好舉例子（推不出））

            22的二進位制原碼011010，正數的補碼等於它的原碼011010

            -22的二進位制原碼111010，負數的補碼等於它的原碼取反加1，為100110

            011010  & 100110 = 000010 正數轉換成原碼後依然是000010

            所以lowbit(22)=2

》正式開始建造《

我們先回到樹狀陣列的圖片

我們可以發現，當一個節點改變後，它的父節點，父節點的父節點……都要改變，怎麼搞？怎麼搞？

我們上面已經探討了一個節點與父節點的關係 （i的父節點 = i + lowbit（i）），所以我們可以用一個迴圈一直找父節點的編號，直到大於了整個陣列的長度，程式碼：

void update(int k,int x){
    for(int i = k; i <= n; i += lowbit(i))
        c[i] += x;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        update(i,a[i]);
    }
}

update(i,j)指單點修改，修改 i ，修改的值為j。

為什麼輸入時就構建，而不再輸完以後再構建呢？ 

我們想：我們輸入 a[i] ,其實就等同於向 c[i] 中加 a[i] ,而 i 的所有前輩都要加上 a[i] 所以我們輸入的時候就可以把樹狀陣列建好，以免再去用另一個迴圈浪費時間。

》區間和《

首先，我們來複習一下字尾和，就是 sum[i] 就為位置 i 以前的所有元素之和，其程式碼也極其簡單，就不再贅述。

所以區間 l 到 r 的和就為 sum[r] - sum[l-1]。

那麼，如何用樹狀陣列呢？

首先我們探討一下 i - lowbit（i） 是 i 的什麼，從圖中可以看出，i - lowbit（i）就是從 i 向左數第一個比它高的（暫且這麼稱呼）

而一直這樣下去就是以 i 為尾的字尾和，我就不再推了（推不出）

程式碼：

int Sum(int x){
    int he = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
        he += c[i];
    return he;
}

而我們可以發現，i 的字首和只與 i 前面的元素有關，所以我們可以在輸入時就構建出來（板）

》板《

程式碼中有我自己的個人習慣，不喜勿噴。

其中 a 為原陣列，c 為樹狀陣列，b 為字尾和。

#include <cstdio>
#include <iostream>

#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;

int n;

int a[105],b[105],c[105];

void update(int k,int x){
    for(int i = k; i <= n; i += lowbit(i))
        c[i] += x;
}

int Sum(int x){
    int he = 0;
    for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i))
        he += c[i];
    return he;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        scanf("%d",&a[i]);
        update(i,a[i]);
        b[i] = Sum(i);
    }
}