Given a non-empty array containing only positive integers, find if the array can be partitioned into two subsets such that the sum of elements in both subsets is equal.

Note:
Both the array size and each of the array element will not exceed 100.

Example 1:

Input: [1, 5, 11, 5]

Output: true

Explanation: The array can be partitioned as [1, 5, 5] and [11].

Example 2:

Input: [1, 2, 3, 5]

Output: false

Explanation: The array cannot be partitioned into equal sum subsets.

這道題給了我們一個數組，問我們這個陣列能不能分成兩個非空子集合，使得兩個子集合的元素之和相同。那麼我們想，原陣列所有數字和一定是偶數，不然根本無法拆成兩個和相同的子集合，那麼我們只需要算出原陣列的數字之和，然後除以2，就是我們的target，那麼問題就轉換為能不能找到一個非空子集合，使得其數字之和為target。開始我想的是遍歷所有子集合，算和，但是這種方法無法通過OJ的大資料集合。於是乎，動態規劃 Dynamic Programming 就是我們的不二之選。我們定義一個一維的dp陣列，其中dp[i]表示數字i是否是原陣列的任意個子集合之和，那麼我們我們最後只需要返回dp[target]就行了。我們初始化dp[0]為true，由於題目中限制了所有數字為正數，那麼我們就不用擔心會出現和為0或者負數的情況。那麼關鍵問題就是要找出狀態轉移方程了，我們需要遍歷原陣列中的數字，對於遍歷到的每個數字nums[i]，我們需要更新dp陣列，要更新[nums[i], target]之間的值，那麼對於這個區間中的任意一個數字j，如果dp[j - nums[i]]為true的話，那麼dp[j]就一定為true，於是狀態轉移方程如下：

dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]]         (nums[i] <= j <= target)

有了狀態轉移方程，那麼我們就可以寫出程式碼了，這裡需要特別注意的是，第二個for迴圈一定要從target遍歷到nums[i]，而不能反過來，想想為什麼呢？因為如果我們從nums[i]遍歷到target的話，假如nums[i]=1的話，那麼[1, target]中所有的dp值都是true，因為dp[0]是true，dp[1]會或上dp[0]，為true，dp[2]會或上dp[1]，為true，依此類推，完全使我們的dp陣列失效了，參見程式碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0), target = sum >> 1;
        if (sum & 1) return false;
        vector<bool> dp(target + 1, false);
        dp[0] = true;
        for (int num : nums) {
            for (int i = target; i >= num; --i) {
                dp[i] = dp[i] || dp[i - num];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

這道題還可以用bitset來做，感覺也十分的巧妙，bisets的大小設為5001，為啥呢，因為題目中說了陣列的長度和每個數字的大小都不會超過100，那麼最大的和為10000，那麼一半就是5000，前面再加上個0，就是5001了。我們初始化把最低位賦值為1，然後我們算出陣列之和，然後我們遍歷數字，對於遍歷到的數字num，我們把bits向左平移num位，然後再或上原來的bits，這樣所有的可能出現的和位置上都為1。舉個例子來說吧，比如對於陣列[2,3]來說，初始化bits為1，然後對於數字2，bits變為101，我們可以看出來bits[2]標記為了1，然後遍歷到3，bits變為了101101，我們看到bits[5],bits[3],bits[2]都分別為1了，正好代表了可能的和2，3，5，這樣我們遍歷玩整個陣列後，去看bits[sum >> 1]是否為1即可，參見程式碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>& nums) {
        bitset<5001> bits(1);
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        for (int num : nums) bits |= bits << num;
        return (sum % 2 == 0) && bits[sum >> 1];
    }
};

類似題目：

參考資料：