矩的初步理解
阿新 • • 發佈：2018-12-27
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矩的理解
物理意義
數學中矩的概念來自物理學。在物理學中，矩是表示距離和物理量乘積的物理量，表徵物體的空間分佈。由其定義，矩通常需要一個參考點（基點或參考系）來定義距離。如力和參考點距離乘積得到的力矩（或扭矩），原則上任何物理量和距離相乘都會產生力矩，質量，電荷分佈等。
單個點的力矩：
多個點則是積分得空間密度
如果點表示質量，則第零矩是總質量，一階矩是重心，二階矩是
轉動慣量
還有一個多極矩的概念，設計到極座標系和球面座標，就不多說了link
數學意義
矩是物體形狀識別的重要引數指標。在統計學中，矩表徵隨機量的分佈。如一個“二階矩”在一維上可測量其“寬度”，在更高階的維度上由於其使用於橢球的空間分佈，我們還可以對點的雲結構進行測量和描述。其他矩用來描述諸如與均值的偏差分佈情況（偏態），或峰值的分佈情況（峰態）
定義在實數域的實函式相對於值c的n階矩為：
如果點表示概率密度，則第零階矩表示總概率（即1）,1,2,3階矩依次為以下三項。數學中的概念與物理學中矩的概念密切相關。
- 期望
隨機變數的期望定義為其一階原點矩：
E(x)=∫∞−∞xf(x)dx
在方差等定義中，期望也成為隨機變數的“中心”。
顯然，任何隨機變數的一階中心據為0。
對於以下二階及更高階的矩，通常使用中心矩（圍繞平均值c的矩，均值是一階矩），而不是原點矩，因為中心矩能更清楚的體現關於分佈形狀的資訊。 方差
隨機變數的方差定義為其二階中心矩：
Var(x)=∫∞−∞[x−E(x)]2f(x)dx 歸一化矩
歸一化n階中心矩或者說標準矩，是n階中心矩除以標準差σn ,歸一化n階中心矩為
x=E[(x−μ)n]σn
這些歸一化矩是無量綱值，表示獨立於任何尺度的線性變化的分佈。舉個栗子，對於電訊號，一階矩是其DC(直流)電平，二階矩與平均功率成比例。偏態
隨機變數的偏態（衡量分佈不對稱性）定義為其三階中心矩:
S(x)=∫∞−∞[x−E(x)]3f(x)dx
需要注意，任何對稱分佈偏態為0，歸一化三階矩被成為偏斜度，向左偏斜（分佈尾部在左側較長）具有負偏度（失效率資料常向左偏斜，如極少量的燈泡會立即燒壞），向右偏斜分佈（分佈尾部在右側較長）具有正偏度（工資資料往往以這種方式偏斜，大多數人所得工資較少）。
- 峰度
一般隨機變數的峰度定義為其四階中心矩與方差平方的比值再減3，減3是為了讓正態分佈峰度為0，這也被稱為超值峰度：
K(x)=∫∞−∞[x−E(x)]4f(x)dxσ2−3
峰度表示分佈的波峰和尾部與正態分佈的區別，峰度有助於初步瞭解資料分佈的一般特徵。
完全符合正態分佈的資料峰度值為0,且正態分佈曲線被稱為基線。如果樣本峰度顯著偏離0，就可判斷此資料不是正態分佈。
混合矩
混合矩是多個變數的矩，比如協方差，協偏度，協峰度。雖然協方差只有一個，但協偏度和協峰度存在多個。中心轉換
由於：
(x−b)n=(x−a+a−b)n=∑i=0n(cr)(x−a)i(a−b)n−i
所以：
E[(x−b)n]=∑i=0n(cr)E[(x−a)i](a−b)n−i 累加性
當x和y是獨立變數時，
m1(x+y)=m1(x)+m1(y)Var(x+y)=Var(x)+Var(y)μ3(x+y)=μ3(x)+μ3(y) 樣本矩
矩常常通過樣本矩來估計，這種方法不需要先估計其概率分佈。
μ′n≈1N∑Ni=1Xni
對於任何樣本大小，原始樣本矩的期望值等於群體的k階矩（若存在）。
影象意義
在影象處理，計算機視覺和相關領域中，一個影象矩是影象畫素強度的某個特定加權平均（矩），或者是這樣的矩的函式，通常選擇具有一些有吸引力的特性或解釋。
影象矩對於分割之後物件的描述是有用的。通過影象矩得到的影象的簡單屬性包括面積（或總強度），其質心和關於其方向的資訊。
原點矩
對一個二維連續函式f(x,y