Given a non-empty 2D matrix matrix and an integer k, find the max sum of a rectangle in the matrix such that its sum is no larger than k.

Example:

Given matrix = [
  [1,  0, 1],
  [0, -2, 3]
]
k = 2

The answer is 2. Because the sum of rectangle [[0, 1], [-2, 3]] is 2 and 2 is the max number no larger than k (k = 2).

Note:

1. The rectangle inside the matrix must have an area > 0.
2. What if the number of rows is much larger than the number of columns?

Credits:
Special thanks to @fujiaozhu for adding this problem and creating all test cases.

這道題給了我們一個二維陣列，讓我們求和不超過的K的最大子矩形，那麼我們首先可以考慮使用brute force來解，就是遍歷所有的子矩形，然後計算其和跟K比較，找出不超過K的最大值即可。就算是暴力搜尋，我們也可以使用優化的演算法，比如建立累加和，參見之前那道題

解法一：

class Solution {
public:
    int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        if (matrix.empty() || matrix[0
 
].empty()) return 0;
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size(), res = INT_MIN;
        int sum[m][n];
        for (int i = 0; i < m; ++i) {
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                int t = matrix[i][j];
                if (i > 0) t += sum[i - 1][j];
                if (j > 0) t += sum[i][j - 1];
                if (i > 0 && j > 0) t -= sum[i - 1][j - 1];
                sum[i][j] = t;
                for (int r = 0; r <= i; ++r) {
                    for (int c = 0; c <= j; ++c) {
                        int d = sum[i][j];
                        if (r > 0) d -= sum[r - 1][j];
                        if (c > 0) d -= sum[i][c - 1];
                        if (r > 0 && c > 0) d += sum[r - 1][c - 1];
                        if (d <= k) res = max(res, d);
                    }
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

下面這個演算法進一步的優化了執行時間，這個演算法是基於計算二維陣列中最大子矩陣和的演算法，可以參見youtube上的這個視訊Maximum Sum Rectangular Submatrix in Matrix dynamic programming/2D kadane。這個演算法巧妙在把二維陣列按行或列拆成多個一維陣列，然後利用一維陣列的累加和來找符合要求的數字，這裡用了lower_bound來加快我們的搜尋速度，也可以使用二分搜尋法來替代。我們建立一個集合set，然後開始先放個0進去，為啥要放0呢，因為我們要找lower_bound(curSum - k)，當curSum和k相等時，0就可以被返回了，這樣我們就能更新結果了。由於我們對於一維陣列建立了累積和，那麼sum[i,j] = sum[i] - sum[j]，其中sums[i,j]就是目標子陣列需要其和小於等於k，然後sums[j]是curSum，而sum[i]就是我們要找值，當我們使用二分搜尋法找sum[i]時，sum[i]的和需要>=sum[j] - k，所以也可以使用lower_bound來找，參見程式碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int maxSumSubmatrix(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
        if (matrix.empty() || matrix[0].empty()) return 0;
        int m = matrix.size(), n = matrix[0].size(), res = INT_MIN;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            vector<int> sum(m, 0);
            for (int j = i; j < n; ++j) {
                for (int k = 0; k < m; ++k) {
                    sum[k] += matrix[k][j];
                }
                int curSum = 0, curMax = INT_MIN;
                set<int> s;
                s.insert(0);
                for (auto a : sum) {
                    curSum += a;
                    auto it = s.lower_bound(curSum - k);
                    if (it != s.end()) curMax = max(curMax, curSum - *it);
                    s.insert(curSum);
                }
                res = max(res, curMax);
            }
        }
        return res;
    }
};

類似題目：

參考資料：