去年寫了一篇《分治演算法 求第 $k$小元素 $O\left(n\right)$

那時候，我還不知道這個演算法叫BFPRT演算法——現在知道了，還知道它又被稱為中位數的中位數演算法，它的最壞時間複雜度為 $O(n)$ ，它是由Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan提出，它的思想是修改快速選擇演算法的主元選取方法，提高演算法在最壞情況下的時間複雜度。

而且，我還發現了STL中有一個類似的函式——std::nth_element （位於標頭檔案<algorithm>中）:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <functional>

int main() {
    std::vector<int> v{5, 6, 4, 3, 2, 6, 7, 9, 3};
    std::nth_element(v.begin(), v.begin() + v.size()/2, v.end());
    std::cout << "The median is " << v[v.size()/2] << '\n';
    std::nth_element(v.begin(), v.begin()+1, v.end(), std::greater<int>());
    std::cout << "The second largest element is " << v[1] << '\n';
}

The median is 5
The second largest element is 7

好了，言歸正傳。BFPRT演算法主要由兩部分組成（快排、基準選取函式）。基準選取函式也就是中位數的中位數演算法（Median of Medians algorithm）的實現，具體來說——就是將快排中基準選取策略進行了優化，改為每次儘可能的選擇中位數作為基準。

那麼是如何儘可能的選出中位數？ 如果要找到一個精確的中位數，所消耗的時間代價將得不償失，而且對於快排演算法來說，只要基準儘可能的接近真正的中位數，就能形成近似的均分。我在上一篇文章中舉了個例子，這裡我再重複一遍：

假設，我們要找arr[18]的近似中位數——其實，也就是找到數字8。（注意到，由於使用了分組，這裡產生的只是儘可能的中位數）

int arr[18] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 };

BFPRT演算法規定了，將5個元素作為一組（選出中位數）。然後，再選出中位數中的中位數…一直到，最終選出一個數字。

那麼，第一輪就是這樣（將選出的中位數放置在最前面）：

//執行momedians之前
{ 1,2,3,4,5} {6,7,8,9,10} {11,12,13,14,15} {16,17,18 };

分別對每組sort後選取小組中位數，再使用swap將小組中位數放置在“最前面”對應位置（注意下文中*號的標註，它表示這一步選出的小組中位數放置到哪兒去了）。

//開始momedians
{ 3*,2,1*,4,5};//sort->swap(3,1)
{ 3,8*,1,4,5} {6,7,2*,9,10};//sort->swap(8,2)
{ 3,8,13*,4,5} {6,7,2,9,10} {11,12,1*,14,15};//sort->swap(13,1)
{ 3,8,13,17*,5} {6,7,2,9,10} {11,12,1,14,15} {16,4*,18 };//sort->swap(17,4)

同樣，第二輪初始時就成如下樣子了，很顯然已經少於5個數字了：

//執行momedians之前
{ 3,8,13,17};

直接選出中位數8。

可以將上述過程使用C++程式碼描述如下（對於5個數字的排序，使用Insert sort可能會效率更高）。再次強調，下面這段程式碼唯一的作用，就是用來選出每次快排的基準：

//Median of Medians algorithm
int momedians(int* const low, int* const high) {
	if (low >= high - 1) {
		return *low;
	}
	//int grp_length = (int)std::sqrt(high - low);
	int grp_length = 5, grp_idx = 0;
	for (int* l = low, *r; l < high; l = r+1) {
		r = (l + grp_length >= high) ? high : l + grp_length - 1;
		std::sort(l, r); //可以使用下文的void isort(int* const low, int* const high)
		std::swap(*(low+grp_idx++), *(l + (r - l) / 2));
	}
	return momedians(low, low + grp_idx);
}

寫到這裡已經將BFPRT演算法核心介紹完畢了。

如果想測試使用Insert sort是否會帶來效率上提升的小夥伴，可以試試下面這段程式碼isort，嘗試著替換文中的std::sort排序函式。

//Insert sort
void isort(int* const low, int* const high) {
	for (int* i = low + 1; i <= high; ++i) {
		if (*i < *(i-1)) {
			int border = *i, *j = i-1;
			for ( ; border < *j; --j) {
				*(j+1) = *j;
			}
			*(j+1) = border;
		}
	}
}

讓我們思維次再回到momedians函式。從上述程式碼中可以看到grp_length = 5是一個固定值。那麼，在BFPRT演算法中，為什麼是選5個作為分組？ 這個我也不是很明白，我也嘗試使用sqrt(陣列長度)作為分組的長度。

有興趣的可以閱讀 ACdreamer 的一篇《BFPRT演算法原理》，他在文章結尾處，對為什麼使用5作為固定分組長度進行了簡單說明。同時，還附有BFPRT演算法的最壞時間複雜度為 $O(n)$ 的證明。

好了，以下為完整的“BFPRT演算法：時間複雜度 $O(n)$求第k小的數字”程式碼。如上文所說，演算法主體功能是快排，只是在基準選取的時候使用了momedians演算法——而不是直接取第一個數作為基準（嚴蔚敏版教材中的做法）。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

//Median of Medians algorithm
int momedians(int* const low, int* const high) {
	if (low >= high - 1) {
		return *low;
	}
	int grp_length = 5, grp_idx = 0;
	for (int* l = low, *r; l < high; l = r+1) {
		r = (l + grp_length >= high) ? high : l + grp_length - 1;
		std::sort(l, r);
		std::swap(*(low+grp_idx++), *(l + (r - l) / 2));
	}
	return momedians(low, low + grp_idx);
}

//Quick sort
int qsort(int* const low, int* const high, int* const ptrk) {
	int* l = low, *r = high;
	if (l < r) {
		int pivot = momedians(l, r);
		while (l < r) {
			while (l < r && *r >= pivot) {
				--r;
			}
			*l = *r;
			while (l < r && *l <= pivot) {
				++l;
			}
			*r = *l;
		}
		*r = pivot;
	}
	//per qsort end, check left == right == ptrk?
	return r == ptrk ? *ptrk :
		(r > ptrk ?
			qsort(low, r - 1, ptrk) :
			qsort(r + 1, high, ptrk));
}

//Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan
int bfprt(int* const low, int* const high, const int k = 1) {
	if (low >= high || k < 1 || k > high - low) {
		throw std::invalid_argument("low > high || k < 1");
	}
	return qsort(low, high-1, low + k -1);//[low, high)
}

int main() {
	int arr[18] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 };
	//cout << bfprt(&arr[0], &arr[0]+1, 1) << endl;
	cout << bfprt(&arr[0], &arr[0] + 18, 18) << endl;

	return 0;
}

以上的程式碼是針對int陣列編寫的，下面再測試一下對於其他型別的支援情況（這裡直接粗暴的加上了一個模板）。有一點想強調的是，這裡的bfprt函式引數是左閉右開區間[low,high)，同時k必須是從1開始的正數。

//Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan
template<typename T>
T bfprt(T* const low, T* const high, const int k = 1) {
	if (low >= high || k < 1 || k > high - low) {
		throw std::invalid_argument("low > high || k < 1");
	}
	return qsort(low, high-1, low + k -1);//[low, high)
}

在main函式中對int、char、string型別進行了測試。完整程式碼如下…

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

//Median of Medians algorithm
template<typename T>
T momedians(T* const low, T* const high) {
	if (low >= high - 1) {
		return *low;
	}
	int grp_length = 5, grp_idx = 0;
	for (T* l = low, *r; l < high; l = r+1) {
		r = (l + grp_length >= high) ? high : l + grp_length - 1;
		std::sort(l, r);
		std::swap(*(low+grp_idx++), *(l + (r - l) / 2));
	}
	return momedians(low, low + grp_idx);
}

//Quick sort
template<typename T>
T qsort(T* const low, T* const high, T* const ptrk) {
	T* l = low, *r = high;
	if (l < r) {
		T pivot = momedians(l, r);
		while (l < r) {
			while (l < r && *r >= pivot) {
				--r;
			}
			*l = *r;
			while (l < r && *l <= pivot) {
				++l;
			}
			*r = *l;
		}
		*r = pivot;
	}
	//per qsort end, check left == right == ptrk?
	return r == ptrk ? *ptrk :
		(r > ptrk ?
			qsort(low, r - 1, ptrk) :
			qsort(r + 1, high, ptrk));
}

//Blum、Floyd、Pratt、Rivest、Tarjan
template<typename T>
T bfprt(T* const low, T* const high, const int k = 1) {
	if (low >= high || k < 1 || k > high - low) {
		throw std::invalid_argument("low > high || k < 1");
	}
	return qsort(low, high-1, low + k -1);//[low, high)
}

int main() {
	int arr[18] = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 };
	cout << bfprt(&arr[0], &arr[0] + 18, 18) << endl;

	char str[7] = {'a','b','c','d','e','f','g'};
	cout << bfprt(&str[0], &str[0] + 7, 4) << endl;

	string s = "abcdefghijklmnopqrstuvwxyz";
	cout << bfprt(&s[0], &s[0] + 26, 10) << endl;
	
	return 0;
}

References:
[1] 為徑，分治演算法 求第k小元素 $O(n)$ & $O(nlog2^n)$