2018華為軟挑--模擬退火+FF解決裝箱問題【C++程式碼】
演算法簡介：
裝箱問題是一個NP完全問題，求解全域性最優解有很多種方法：遺傳演算法、禁忌搜尋演算法、蟻群演算法、模擬退火演算法等等，本次使用模擬退火，它的優點是在引數合適的情況下基本上可以100%得到全域性最優解，缺點是相較於其他演算法，其穩定速度較慢。
如果你對退火的物理意義還是暈暈的，沒關係我們還有更為簡單的理解方式。想象一下如果我們現在有下面這樣一個函式，現在想求函式的（全域性）最優解。如果採用貪心策略，那麼從A點開始試探，如果函式值繼續減少，那麼試探過程就會繼續。而當到達點B時，顯然我們的探求過程就結束了（因為無論朝哪個方向努力，結果只會越來越大）。最終我們只能找打一個區域性最後解B。
可以看出模擬退火其實也是一種貪心演算法，但是它的搜尋過程引入了隨機因素。模擬退火演算法以一定的概率來接受一個比當前解要差的解，因此有可能會跳出這個區域性的最優解，達到全域性的最優解。以上圖為例，模擬退火演算法在搜尋到區域性最優解B後，會以一定的概率接受向右繼續移動。也許經過幾次這樣的不是區域性最優的移動後會到達B 和C之間的峰點，於是就跳出了局部最小值B。
演算法過程：
根據Metropolis準則，粒子在溫度T時趨於平衡的概率為exp(-ΔE/(kT))，其中E為溫度T時的內能，ΔE為其改變數,k為Boltzmann常數。Metropolis準則常表示為
Metropolis準則表明，在溫度為T時，出現能量差為dE的降溫的概率為P(dE)，表示為：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一個常數，exp表示自然指數，且dE<0。所以P和T正相關。這條公式就表示：溫度越高，出現一次能量差為dE的降溫的概率就越大；溫度越低，則出現降溫的概率就越小。又由於dE總是小於0（因為退火的過程是溫度逐漸下降的過程），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函式取值範圍是(0,1) 。隨著溫度T的降低，P(dE)會逐漸降低。
我們將一次向較差解的移動看做一次溫度跳變過程，我們以概率P(dE)來接受這樣的移動。也就是說，在用固體退火模擬組合優化問題，將內能E模擬為目標函式值 f，溫度T演化成控制引數 t，即得到解組合優化問題的模擬退火演演算法：由初始解 i 和控制引數初值 t 開始，對當前解重複“產生新解→計算目標函式差→接受或丟棄”的迭代，並逐步衰減 t 值，演算法終止時的當前解即為所得近似最優解。
總結起來就是：若f( Y(i+1) ) <= f( Y(i) ) (即移動後得到更優解)，則總是接受該移動；
若f( Y(i+1) ) > f( Y(i) ) (即移動後的解比當前解要差)，則以一定的概率接受移動，而且這個概率隨著時間推移逐漸降低（逐漸降低才能趨向穩定）相當於上圖中，從B移向BC之間的小波峰時，每次右移（即接受一個更糟糕值）的概率在逐漸降低。如果這個坡特別長，那麼很有可能最終我們並不會翻過這個坡。如果它不太長，這很有可能會翻過它，這取決於衰減 t 值的設定。
舉一個例子：
求函式f(x)=11*sin(6*x)+7*cos(5*x) , x∈[0,2*pi] 的最小值。
由函式影象可以看出存在很多極小值，要求全域性最優可以採用模擬退火，具體程式碼如下：
//f(x)=11*sin(6*x)+7*cos(5*x),x∈[0,2*pi]，求最小值,真實最小值為-17.833
#include <iostream>
#include <math.h>
#include <time.h>
#define pi 3.14159
#define num 30000 //迭代次數
double k = 0.01;
double r = 0.99; //用於控制降溫的快慢
double T = 200; //系統的溫度，系統初始應該要處於一個高溫的狀態
double T_min = 2;//溫度的下限，若溫度T達到T_min，則停止搜尋
//返回指定範圍內的隨機浮點數
double rnd(double dbLow, double dbUpper)//產生（dbLow,dbUpper）之間的隨機數
{
double dbTemp = rand() / ((double)RAND_MAX + 1.0);
return dbLow + dbTemp*(dbUpper - dbLow);
}
double func(double x)//目標函式
{
return 11 * sin(6 * x) + 7 * cos(5 * x);
}
int main()
{
double best = func(rnd(0.0, 2 * pi));
double dE, current;
int i;
srand((unsigned)(time(NULL)));//用當前時間點初始化隨機種子，防止每次執行的結果都相同
while (T > T_min)
{
for (i = 0; i < num; i++)
{
current = func(rnd(0.0, 2 * pi));//產生新解
dE = current - best;
if (dE < 0) //表達移動後得到更優解，則總是接受移動
best = current;
else
{
// 函式exp( dE/T )的取值範圍是(0,1) ，dE/T越大，則exp( dE/T )也越大
if (exp(-dE / (T*k)) > rnd(0.0, 1.0))//有一定概率接受較差解
best = current;
}
}
T = r * T;//降溫退火 ，0<r<1 。r越大，降溫越慢；r越小，降溫越快
}
printf("最小值是 %f\n", best);
return 0;
}執行結果：
在程式執行5秒左右，結果可以看出模擬退火可以求出全域性最優解。
模擬退火解決裝箱問題：
幾個需要修改的核心問題：
1、目標函式：因為需要箱子數目最小，所以設定為物理伺服器的個數PsyPsNum。
2、構造初始解：利用貪心演算法FF（對應於函式distribution(temp)）先進行一次裝箱，得到物理伺服器個數的解。
void distribution(FlavorS flavors[])
{
PsyPsNum = FlavorSBox(flavors, totalPreNum, ECS.cpu, ECS.mem);
}
int FlavorSBox(FlavorS goods[], int n, int cpu_num, int mem) //裝箱問題貪心演算法
{
int num = 0;
GNode *pg, *t;
GBox *hbox = NULL, *pb, *qb;
int i;
for (i = 0; i < n; i++) /////////////////遍歷虛擬機器資訊陣列
{
pg = (GNode *)malloc(sizeof(GNode)); ///////////////分配貨物節點單元
//pg->s = goods[i].s;
pg->link = NULL; //貨物節點初始化
if (!hbox) //若一個物理伺服器都沒有
{
hbox = (GBox *)malloc(sizeof(GBox));
hbox->remainder = cpu_num; //物理伺服器可以容納的CPU
hbox->mem = mem; //物理伺服器可以容納的記憶體
hbox->head = NULL;
hbox->next = NULL;
num++; //物理伺服器數量加1
hbox->box_no = num;
}
qb = pb = hbox; //都指向物理伺服器頭
while (pb) //找物理伺服器
{
if (pb->remainder >= goods[i].cpu && pb->mem >= goods[i].mem) /////////////////////////////能裝下
break; //找到箱子，跳出while
else
{
qb = pb;
pb = pb->next; //qb是前驅
}
} /////////////////////////////////////遍歷物理伺服器結束
if (pb == NULL) /////////////////////需要新物理伺服器
{
pb = (GBox *)malloc(sizeof(GBox)); //分配物理伺服器
pb->head = NULL;
pb->next = NULL;
pb->remainder = cpu_num;
pb->mem = mem;
qb->next = pb; //前驅指上
num++; //物理伺服器數量加1
pb->box_no = num;
}
if (!pb->head) //如果物理伺服器裡沒貨
{
pb->head = pg;
t = pb->head;
goods[i].PsId = pb->box_no; //將虛擬機器與物理伺服器編號關聯起來
//cout << goods[i].s << "裝入" << goods[i].PsId << "物理伺服器" << endl;
}
else
{
t = pb->head;
while (t->link)
t = t->link; //尾插
t->link = pg;
goods[i].PsId = pb->box_no; //將虛擬機器與物理伺服器編號關聯起來
//cout << goods[i].s << "裝入" << goods[i].PsId << "物理伺服器" << endl;
}
pb->remainder -= goods[i].cpu;
pb->mem -= goods[i].mem;
}
return num;
} 3、產生新解：利用交換箱子間的排列順序（對應於函式generateNew(50, temp)），貪心放入，得到新的結果。
//swapTimes表示交換次數，flavors表示需要交換的物件
void generateNew(int swapTimes, FlavorS flavors[])
{
for (int i = 0; i < swapTimes; i++)
{
int posx = rand() % totalPreNum;
int posy = rand() % totalPreNum;
swap(flavors[posx], flavors[posy]);
}
}4、注意每一次產生新解，不一定都要接受結果，所以選擇複製一個flavors陣列為temp陣列，在temp中產生新解，只有選擇接受新解才將temp的結果複製進flavors中，否則flavors陣列不變。
模擬退火程式碼：
void SimulatedFire(FlavorS flavors[])
{
int best = PsyPsNum;
cout << "before fire:" << PsyPsNum << endl;
const int LL = 300;
double k = 0.1;
double r = 0.97; //用於控制降溫的快慢
double T = 300; //系統的溫度，系統初始應該要處於一個高溫的狀態
double T_min = 0.1; //溫度的下限，若溫度T達到T_min，則停止搜尋
//返回指定範圍內的隨機浮點數
int dE, current;
srand((unsigned)(time(NULL)));
FlavorS *temp = new FlavorS[totalPreNum];
for (int i = 0; i < totalPreNum; i++)
{
temp[i].s = flavors[i].s;
temp[i].cpu = flavors[i].cpu;
temp[i].mem = flavors[i].mem;
temp[i].PsId = flavors[i].PsId;
}
while (T > T_min)
{
for (int i = 0; i < LL; i++)
{
generateNew(50, temp);
distribution(temp);
current = PsyPsNum;
dE = current - best;
if (dE <= 0) //表達移動後得到更優解，則總是接受移動
{
best = current;
for (int i = 0; i < totalPreNum; i++)
{
flavors[i].s = temp[i].s;
flavors[i].cpu = temp[i].cpu;
flavors[i].mem = temp[i].mem;
flavors[i].PsId = temp[i].PsId;
}
}
else
{
// 函式exp( dE/T )的取值範圍是(0,1) ，dE/T越大，則exp( dE/T )也越大
if (exp(-dE / (T * k)) > rnd(0.0, 1.0))
{
best = current;
for (int i = 0; i < totalPreNum; i++)
{
flavors[i].s = temp[i].s;
flavors[i].cpu = temp[i].cpu;
flavors[i].mem = temp[i].mem;
flavors[i].PsId = temp[i].PsId;
}
}
}
}
T = r * T; //降溫退火 ，0<r<1 。r越大，降溫越慢；r越小，降溫越快
}
PsyPsNum = best;
delete[] temp;
cout << "after fire:" << PsyPsNum << endl;
}當設定輸入引數為：
模擬退火前後需要物理伺服器個數結果為：
可以看到比貪心演算法少使用了2個物理伺服器就將所有的虛擬伺服器裝下了，雖然執行時間略久，但實現了裝箱問題的最優解。