（來源於百度百科）

一、構建演算法

k-d樹是一個二叉樹，每個節點表示一個空間範圍。表1給出的是k-d樹每個節點中主要包含的資料結構。 表1 k-d樹中每個節點的資料型別

域名	資料型別	描述
Node-data	資料向量	資料集中某個資料點，是n維向量（這裡也就是k維）
Range	空間向量	該節點所代表的空間範圍
split	整數	垂直於分割超平面的方向軸序號
Left	k-d樹	由位於該節點分割超平面左子空間內所有資料點所構成的k-d樹
Right	k-d樹	由位於該節點分割超平面右子空間內所有資料點所構成的k-d樹
parent	k-d樹	父節點

從上面對k-d樹節點的資料型別的描述可以看出構建k-d樹是一個逐級展開的遞迴過程。表2給出的是構建k-d樹的偽碼。 表2 構建k-d樹的偽碼

演算法：構建k-d樹（createKDTree）

輸入：資料點集Data-set和其所在的空間Range

輸出：Kd，型別為k-d tree

1.If Data-set為空，則返回空的k-d tree

2.呼叫節點生成程式： （1）確定split域：對於所有描述子資料（特徵向量），統計它們在每個維上的資料方差。以SURF特徵為例，描述子為64維，可計算64個方差。挑選出最大值，對應的維就是split域的值。資料方差大表明沿該座標軸方向上的資料分散得比較開，在這個方向上進行資料分割有較好的解析度； （2）確定Node-data域：資料點集Data-set按其第split域的值排序。位於正中間的那個資料點被選為Node-data。此時新的Data-set' = Data-set\Node-data（除去其中Node-data這一點）。

3.dataleft = {d屬於Data-set' && d[split] ≤ Node-data[split]} Left_Range = {Range && dataleft} dataright = {d屬於Data-set' && d[split] > Node-data[split]} Right_Range = {Range && dataright}

4.left = 由（dataleft，Left_Range）建立的k-d tree，即遞迴呼叫createKDTree（dataleft，Left_ Range）。並設定left的parent域為Kd； right = 由（dataright，Right_Range）建立的k-d tree，即呼叫createKDTree（dataright，Right_ Range）。並設定right的parent域為Kd。

以上述舉的例項來看，過程如下： 由於此例簡單，資料維度只有2維，所以可以簡單地給x，y兩個方向軸編號為0,1，也即split={0,1}。 （1）確定split域的首先該取的值。分別計算x，y方向上資料的方差得知x方向上的方差最大，所以split域值首先取0，也就是x軸方向； （2）確定Node-data的域值。根據x軸方向的值2,5,9,4,8,7排序選出中值為7，所以Node-data = （7,2）。這樣，該節點的分割超平面就是通過（7,2）並垂直於split = 0（x軸）的直線x = 7； （3）確定左子空間和右子空間。分割超平面x = 7將整個空間分為兩部分，如圖2所示。x < = 7的部分為左子空間，包含3個節點{（2,3），（5,4），（4,7）}；另一部分為右子空間，包含2個節點{（9,6），（8,1）}。 如演算法所述，k-d樹的構建是一個遞迴的過程。然後對左子空間和右子空間內的資料重複根節點的過程就可以得到下一級子節點（5,4）和（9,6）（也就是左右子空間的'根'節點），同時將空間和資料集進一步細分。如此反覆直到空間中只包含一個數據點，如圖1所示。最後生成的k-d樹如圖3所示。 二、遍歷查詢思路 在k-d樹中進行資料的查詢也是特徵匹配的重要環節，其目的是檢索在k-d樹中與查詢點距離最近的資料點。這裡先以一個簡單的例項來描述最鄰近查詢的基本思路。 星號表示要查詢的點（2.1,3.1）。通過二叉搜尋，順著搜尋路徑很快就能找到最鄰近的近似點，也就是葉子節點（2,3）。而找到的葉子節點並不一定就是最鄰近的，最鄰近肯定距離查詢點更近，應該位於以查詢點為圓心且通過葉子節點的圓域內。為了找到真正的最近鄰，還需要進行'回溯'操作：演算法沿搜尋路徑反向查詢是否有距離查詢點更近的資料點。此例中先從（7,2）點開始進行二叉查詢，然後到達（5,4），最後到達（2,3），此時搜尋路徑中的節點為<（7,2），（5,4），（2,3）>，首先以（2,3）作為當前最近鄰點，計算其到查詢點（2.1,3.1）的距離為0.1414，然後回溯到其父節點（5,4），並判斷在該父節點的其他子節點空間中是否有距離查詢點更近的資料點。以（2.1,3.1）為圓心，以0.1414為半徑畫圓，如圖4所示。發現該圓並不和超平面y = 4交割，因此不用進入（5,4）節點右子空間中去搜索。 再回溯到（7,2），以（2.1,3.1）為圓心，以0.1414為半徑的圓更不會與x = 7超平面交割，因此不用進入（7,2）右子空間進行查詢。至此，搜尋路徑中的節點已經全部回溯完，結束整個搜尋，返回最近鄰點（2,3），最近距離為0.1414。 一個複雜點了例子如查詢點為（2，4.5）。同樣先進行二叉查詢，先從（7,2）查詢到（5,4）節點，在進行查詢時是由y = 4為分割超平面的，由於查詢點為y值為4.5，因此進入右子空間查詢到（4,7），形成搜尋路徑<（7,2），（5,4），（4,7）>，取（4,7）為當前最近鄰點，計算其與目標查詢點的距離為3.202。然後回溯到（5,4），計算其與查詢點之間的距離為3.041。以（2，4.5）為圓心，以3.041為半徑作圓，如圖5所示。可見該圓和y = 4超平面交割，所以需要進入（5,4）左子空間進行查詢。此時需將（2,3）節點加入搜尋路徑中得<（7,2），（2,3）>。回溯至（2,3）葉子節點，（2,3）距離（2,4.5）比（5,4）要近，所以最近鄰點更新為（2，3），最近距離更新為1.5。回溯至（7,2），以（2,4.5）為圓心1.5為半徑作圓，並不和x = 7分割超平面交割，如圖6所示。至此，搜尋路徑回溯完。返回最近鄰點（2,3），最近距離1.5。k-d樹查詢演算法的虛擬碼如下所示。

1. 從root節點開始，DFS搜尋直到葉子節點，同時在stack中順序儲存已經訪問的節點。
2. 如果搜尋到葉子節點，當前的葉子節點被設為最近鄰節點。
3. 然後通過stack回溯: 如果當前點的距離比最近鄰點距離近，更新最近鄰節點. 然後檢查以最近距離為半徑的圓是否和父節點的超平面相交. 如果相交，則必須到父節點的另外一側，用同樣的DFS搜尋法，開始檢查最近鄰節點。 如果不相交，則繼續往上回溯，而父節點的另一側子節點都被淘汰，不再考慮的範圍中.
4. 當搜尋回到root節點時，搜尋完成，得到最近鄰節點。