1、邏輯迴歸

FTRL本質上是邏輯迴歸的一個變種，因此先簡單介紹一下邏輯迴歸的內容。

1.1 sigmoid函式

由於二分類結果是1或者0，這與數學的階躍函式很類似，但是階躍函式在x=0的位置會發生突變，這個突變在數學上很難處理。所以一般使用sigmoid函式來擬合：

g(z)=11+e−z(1)

具體應用到邏輯迴歸演算法中：

z=ω0+ω1x1+ω2x2+......+ωnxn=∑i=0nωixi＝ωTX(2)

其中xi表示樣本屬性（對於我們而言，就是標籤IP）的值， ωi表示這個屬性對應的係數（也就是演算法需要計算的內容）。注意這裡將x0與ω0也代入了上述公式，其中前者恆為1。於是問題就變成了在訓練樣本中，已知屬性x與最終分類結果y（1或者0）時，如何求得這些係數 ω

i，使得損失最小。

1.2 極大似然估計MLE與損失函式

在機器學習理論中，損失函式（loss function）是用來衡量模型的預測值f(x)與真實值Y的不一致程度，它是一個非負實值函式，損失函式越小，模型越優（還需考慮過擬合等問題）。損失函式是經驗風險函式的核心部分，也是結構風險函式重要組成部分。模型的結構風險函式包括了經驗風險項和正則項，通常可以表示成如下式子

ω∗=argminω1m∑i=1mL(yi,f(xi;ω))+λΦ(ω)(3)

其中m表示樣本的數量。對於邏輯迴歸，其loss function是log損失，這可以通過極大似然估計進行推導得到。

首先，給定一個樣本x

，可以使用一個線性函式對自變數進行線性組合，即上述的（2）式子：

z=ω0+ω1x1+ω2x2+......+ωnxn=∑i=0nωixi＝ωTX(4)

根據sigmoid函式，我們可以得出預測函式的表示式為：

hω(x)=g(ωTx)=11+e−ωTx(5)
上式表示y=1的預測函式為hω(x)。在這裡，假設因變數y服從伯努利分佈，取值為0和1，那麼可以得到下列兩個式子：
p(y=1|x)=hω(x)(6)
p(y=0|x)=1−hω(x)(7)
而對於上面的兩個表示式，通過觀察，我們發現，可以將其合併為以下表達式：
p(y|x)=hω(x)y(1−hω(x))1−

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