# -*- coding: utf-8 -*-
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Created on 2018年1月18日
@author: Jason.F
@summary: 特徵抽取-KPCA方法，核主成分分析方法，RBF核實現
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import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.spatial.distance import pdist,squareform
from scipy import exp
from scipy.linalg import eigh
from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.datasets import make_circles
from sklearn.decomposition import PCA
from matplotlib.ticker import FormatStrFormatter
def rbf_kernel_pca(X,gama,n_components):
    '''
    RBF kernel PCA implementation.
    
    Parameters:
    X:{Numpy ndarray},shape=[n_samples,n_features]
    gama:float,Tuning parameter of the RBF kernel
    n_components:int,Number of principal components to return
    
    Returns:
    X_pc:{Numpy ndarray},shape=[n_samples,n_features],Projected dataset
    '''
    #1：計算樣本對歐幾里得距離，並生成核矩陣
    #k(x,y)=exp(-gama *||x-y||^2)，x和y表示樣本，構建一個NXN的核矩陣，矩陣值是樣本間的歐氏距離值。
    #1.1:calculate pairwise squared Euclidean distances in the MXN dimensional dataset.
    sq_dists = pdist (X, 'sqeuclidean') #計算兩兩樣本間歐幾里得距離
    
    #1.2:convert pairwise distances into a square matrix.
    mat_sq_dists=squareform(sq_dists) #距離平方
    
    #1.3:compute the symmetric kernel matrix.
    K=exp(-gama * mat_sq_dists) 
    
    #2:聚集核矩陣K'=K-L*K-K*L + L*K*L，其中L是一個nXn的矩陣(和核矩陣K的維數相同，所有的值都是1/n。
    #聚集核矩陣的必要性是：樣本經過標準化處理後，當在生成協方差矩陣並以非線性特徵的組合替代點積時，所有特徵的均值為0；但用低維點積計算時並沒有精確計算新的高維特徵空間，也無法確定新特徵空間的中心在零點。
    #center the kernel matrix.
    N=K.shape[0]
    one_n = np.ones((N,N))/N #NXN單位矩陣
    K=K - one_n.dot(K) - K.dot(one_n) + one_n.dot(K).dot(one_n)
    
    #3：對聚集後的核矩陣求取特徵值和特徵向量
    #obtaining eigenpairs from the centered kernel matrix
    #numpy.eigh returns them in sorted order.
    eigvals,eigvecs = eigh(K)
    
    #4：選擇前k個特徵值所對應的特徵向量，和PCA不同，KPCA得到的K個特徵，不是主成分軸，而是高維對映到低維後的低維特徵數量
    #核化過程是低維對映到高維，pca是降維，經過核化後的維度已經不是原來的特徵空間。
    #核化是低維對映到高維，但並不是在高維空間計算(非線性特徵組合)而是在低維空間計算(點積)，做到這點關鍵是核函式，核函式通過兩個向量點積來度量向量間相似度，能在低維空間內近似計算出高維空間的非線性特徵空間。
    #collect the top k eigenvectors (projected samples).
    X_pc = np.column_stack((eigvecs[:,-i] for i in range(1,n_components+1)))

    return X_pc

#case1:分離半月形資料
#1.1：生成二維線性不可分資料
X,y=make_moons(n_samples=100,random_state=123)
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1],color='red',marker='^',alpha=0.5)
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1],color='blue',marker='o',alpha=0.5)
plt.show()
#1.2：PCA降維，對映到主成分，仍不能很好線性分類
sk_pca = PCA(n_components=2)
X_spca=sk_pca.fit_transform(X)
fig,ax = plt.subplots(nrows=1,ncols=2,figsize=(7,3))
ax[0].scatter(X_spca[y==0,0],X_spca[y==0,1],color='red',marker='^',alpha=0.5)
ax[0].scatter(X_spca[y==1,0],X_spca[y==1,1],color='blue',marker='o',alpha=0.5)
ax[1].scatter(X_spca[y==0,0],np.zeros((50,1))+0.02,color='red',marker='^',alpha=0.5)
ax[1].scatter(X_spca[y==1,0],np.zeros((50,1))-0.02,color='blue',marker='^',alpha=0.5)
ax[0].set_xlabel('PC1')
ax[0].set_ylabel('PC2')
ax[1].set_ylim([-1,1])
ax[1].set_yticks([])
ax[1].set_xlabel('PC1')
plt.show()
#1.3：利用基於RBF核的KPCA來實現線性可分
X_kpca=rbf_kernel_pca(X, gama=15, n_components=2)
fig,ax = plt.subplots(nrows=1,ncols=2,figsize=(7,3))
ax[0].scatter(X_kpca[y==0,0],X_kpca[y==0,1],color='red',marker='^',alpha=0.5)
ax[0].scatter(X_kpca[y==1,0],X_kpca[y==1,1],color='blue',marker='o',alpha=0.5)
ax[1].scatter(X_kpca[y==0,0],np.zeros((50,1))+0.02,color='red',marker='^',alpha=0.5)
ax[1].scatter(X_kpca[y==1,0],np.zeros((50,1))-0.02,color='blue',marker='^',alpha=0.5)
ax[0].set_xlabel('PC1')
ax[0].set_ylabel('PC2')
ax[1].set_ylim([-1,1])
ax[1].set_yticks([])
ax[1].set_xlabel('PC1')
ax[0].xaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%0.1f'))
ax[1].xaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%0.1f'))
plt.show()

#case2：分離同心圓
#2.1：生成同心圓資料
X,y=make_circles(n_samples=1000,random_state=123,noise=0.1,factor=0.2)
plt.scatter(X[y==0,0],X[y==0,1],color='red',marker='^',alpha=0.5)
plt.scatter(X[y==1,0],X[y==1,1],color='blue',marker='o',alpha=0.5)
plt.show()
#2.2：標準PCA對映
sk_pca = PCA(n_components=2)
X_spca=sk_pca.fit_transform(X)
fig,ax = plt.subplots(nrows=1,ncols=2,figsize=(7,3))
ax[0].scatter(X_spca[y==0,0],X_spca[y==0,1],color='red',marker='^',alpha=0.5)
ax[0].scatter(X_spca[y==1,0],X_spca[y==1,1],color='blue',marker='o',alpha=0.5)
ax[1].scatter(X_spca[y==0,0],np.zeros((500,1))+0.02,color='red',marker='^',alpha=0.5)
ax[1].scatter(X_spca[y==1,0],np.zeros((500,1))-0.02,color='blue',marker='^',alpha=0.5)
ax[0].set_xlabel('PC1')
ax[0].set_ylabel('PC2')
ax[1].set_ylim([-1,1])
ax[1].set_yticks([])
ax[1].set_xlabel('PC1')
plt.show()
#2.3：RBF-KPCA對映
X_kpca=rbf_kernel_pca(X, gama=15, n_components=2)
fig,ax = plt.subplots(nrows=1,ncols=2,figsize=(7,3))
ax[0].scatter(X_kpca[y==0,0],X_kpca[y==0,1],color='red',marker='^',alpha=0.5)
ax[0].scatter(X_kpca[y==1,0],X_kpca[y==1,1],color='blue',marker='o',alpha=0.5)
ax[1].scatter(X_kpca[y==0,0],np.zeros((500,1))+0.02,color='red',marker='^',alpha=0.5)
ax[1].scatter(X_kpca[y==1,0],np.zeros((500,1))-0.02,color='blue',marker='^',alpha=0.5)
ax[0].set_xlabel('PC1')
ax[0].set_ylabel('PC2')
ax[1].set_ylim([-1,1])
ax[1].set_yticks([])
ax[1].set_xlabel('PC1')
ax[0].xaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%0.1f'))
ax[1].xaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%0.1f'))
plt.show()
 

case1結果：

case2結果：