最簡單和常見的數學歸納法是證明當n等於任意一個自然數時某命題成立。證明分下面兩步：

• 證明當 n= 1 時命題成立。
• 假設 n=m 時命題成立，那麼可以推匯出在 n=m+1 時命題也成立。（m代表任意自然數）

1. 圖

• 設 G=(V, E) 為一個有向圖或無向圖，假定 BFS 以給定結點 s∈V 作為源節點在圖 G 上執行。則在 BFS 終結時，對於每個結點 v∈V，BFS 計算得到的 v.d 滿足 v.d≥δ(s,v)（δ(s,v)：s 到 v 的最短路徑，v.d：以 BFS 的方式從源點出發到 v 之間的距離）。

  以數學歸納法的方式進行證明，此外還需理解的細節即是，BFS 的方式需藉助先進先出的佇列，其最核心的兩個操作，enqueue 與 dequeue。我們的歸納假設是：對於所有的結點 v

  ∈V，v.d≥δ(s,v)

  enqueue(G, u)，從結點 u 進行鄰接表搜尋時發現了結點 v（u 可以到 v，根據三角不等式性，δ(s,v)≤δ(s,u)+1），根據歸納法假設有 u.d≥δ(s,u)，根據符號 .d 的定義知，v.d=u.d+1，因此：

  v.d=u.d+1≥δ(s,u)+1≥δ(s,v)

• 證明：任意連通無向圖 G=(V,E) 滿足 |E|≥|V|−1

  • 當只有一個頂點時，|E|=0,|V|=1，顯然成立；
  • 因為是連通的，故取出一個頂點（|V′|=|V|−1），以及與之相連的邊（不只一個 |E|≥1+|E′|），構成一個新的子圖 G′=(V′,E′)，根據數學歸納法，則有：