圖論(一) 基本概念

阿新 • • 發佈：2018-12-31

基礎知識

排列組合公式

$\ binom {n} {k} = \ frac {n \ cdot（n-1）\ cdot（n-2）\ cdot \ cdot \ cdot（nk + 1））} {k！}$ 分子分母同時乘以（NK）得到下面的公式！;

$\ binom {n} {k} = \ frac {n！} {k！（nk）！}$ 用（NK）代替ķ得到下面的公式

$\ binom {n} {nk} = \ binom {n} {k}$

帕斯卡三角

完全圖邊數：n（n-1）/ 2 = $\ binom {N} {2}$

遞迴式： $\ binom {n} {k} = \ binom {n-1} {k-1} + \ binom {n-1} {k}$

例：假設從Ñ個人中選ķ個成立委員會，組合數為 $\ binom {N} {K}$ 。可以假設這Ñ個人中有個叫“李小怪”的人，這個委員會可以分為兩種情況，有“李小怪”和沒有“李小怪”。對於“李小怪”在委員會中的情況，我們只需要從第（N-1）中抽出（K-1）人即可，即 $\ binom {N-1} {K-1}$ 。對於“李小怪”沒有被選為委員會的情況，我們我們只需要從第（N-1）中抽出ķ人即可，即 $\ binom {N} {K-1}$ 。

帕斯卡三角形第ň行的所有數之和為 $\ sum_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} = 2 ^ {n}$

$\ binom {N} {K}$

也是同時二項式係數 $（a + b）^ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k} a ^ {nk} b ^ {k}}$ 令A = 1，B = 1則得到上面的式子

還可以令a = 1，b = -1 $0 = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}（ - 1）^ k}$ ; a = 1，b = 2; $3 ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k} 2 ^ k}$ A = 1，B = X. $（1 + x）^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k} x ^ k}$

$nx（1 + x）^ {n-1} = \ sum_ {k = 1} ^ {n} {k \ binom {n} {k} x ^ k}$ ，推導可以出 $\ binom {k} {k} + \ binom {k + 1} {k} + \ binom {k + 2} {k} + \ cdot \ cdot \ cdot + \ binom {k + r} {k} = \ binom {K + R + 1} {K}$ 也。就是從帕斯卡三角形第ķ行的最後一個元素開始，網左下方移動，知道第ķ+ R行，遍歷的這R + 1個元素的和恰是ķ+ R行那個元素右下方數。

$\ binom {2} {2} + \ binom {3} {2} + \ binom {4} {2} + \ cdot \ cdot \ cdot + \ binom {r} {2} = \ binom {r + 1} {3}$

四面體數：一個以三角形為地基的金字塔的總點數，該金字塔第我層的點數等於第一個三角形數上面的公式表明了第 - [R個四面體數等於 $\ binom {R + 1} {3}$ 。

圖的基本概念與應用

階（點的集合的基數），

規模（邊的集合的基數），

鄰接（結點之間有邊相連），非鄰接，

完全圖（所有結點對都鄰接）

$K_n$

結點的度（與該結點相鄰的結點數），

孤立點（度為0的結點），

端結點/葉子（度為1的結點），

最小/大度（所有結點的最小/大度數），

正則圖（所有結點具有相同的度數），

R-正則圖（所有結點度數為R），

多重圖（一個給定的結點對有多條邊與之對應）

平凡圖\樹平凡指僅有一個結點的圖

定理2.1在任何圖中，結點度的總和等於邊數的2倍。

UV通道，

通道的長度（邊的數量），

跡（一個通道中沒有重複的邊。跡中結點是可以重複的），

迴路（跡開始和結束於相同的結點，稱該跡的英文閉的），

路（通道中沒有重複的結點。路也是跡）（ $P_N$ ），

一個閉路稱為

圈（ $C_ {N}$ ）。

連通圖（圖中任意兩個結點之間存在路），非連通圖，

測地路線/測地線（最短的路），

連通分量（極大連通子圖）

圖ħ是圖ģ的子圖（點集和邊集都為ģ子集），則圖G ^是圖ħ的超圖（V（G）表示結點集E（G）表示邊集）

圖H是圖G的生成子圖（V（G）= V（H）），可以通過刪除G的邊來得到G的生成子圖。

註記：對於標記圖G，若 $S \ subseteq V（G）$ ，並且在標記圖G中共有k條邊連線了S中的所有結點，那麼，G的以S為結點集的子圖數為 $2 ^ķ$ ，一個有k條邊的標記產品圖產品有 $2 ^ķ$ 個生成子圖產品產品
n個結點的完全圖（ $K_n$ ）是唯一含n結點的連通（n-1） - 正則圖
n個結點的圈（ $C_ {N}$ ）是唯一含n結點的2-正則圖
Ñ個結點的路（ $P_N$ ）,,, $P_1 = K_1$ 的英文的生成子圖產品 $P_2 = K_2$ $P_N$ $C_ {N}$
完全二分圖（ $K_ {M，N}$ ）是指圖的結點集可以分成兩個非空集合A，B，分別有m，n個結點，A中的每個結點要與B中的每個結點關聯，且都只與B中的結點相關聯。星（ $K_1，正$ ）

圖ģ與圖ħ 同構的英文指圖ģ中的結點ü和v相鄰接當且僅當它們在圖ħ中對應的結點也鄰接。

適用於圖ģ的結論也適用於ģ的同構圖ħ

如果產品圖產品兩個同構，則應相對結的點有相同的度數
設圖ģ與圖ħ同構，同構函式為F.若在圖ģ中，結點V1與V2間的測地線為V1，V2，V3 ... VK則在圖ħ中F（V1），F（V2），F（V3）... F（VK）是結點F（V1）與F（VK）間的測地線。

含Ñ個結點圖ģ的度序列的英文指按照結點度數個結果排列的正元型態型態非遞增序列

同構的圖必然有相同的度序列

小號序列的英文柯林斯繪圖的（某圖的度序列），英文的一定偶數

可繪圖度序列的判定演算法

1.從序列小號中刪除第一個數ķ

2.如果小號的第1個數後的ķ個數都大於等於1，則將這ķ個數分別都減去1得到新序列S';否則停止，得出原序列不可繪的結論，若小號“全是0時，停止，得原序列可繪圖

3.將步驟2得到的序列S'重新排序，得到非遞增序列S *

4.令S = S *，轉步驟1

圖常量（用來判別圖是否同構）：指根據圖的某個性質定義的函式，即同構圖具有相同的函式值。常見圖常量：階，規模，度序列，連通分量個數，圖中最長路，具有給定唯一度數結點時間的測地線長度，具有唯一度數結點的鄰接點的度

圖操作

並與狀語從句：

輪（ $W_1，正$ ）是指 $K_1$ 和 $C_1$ 的和，即 $W_1，正$ = $K_1$ + $C_1$

G1，G2，G3 ... Gk的序列和 G1 + G2 + G3 + ... + Gk在每個圖的副本的基礎上，再增加連線圖Gi和Gi + 1任意結點的邊。

與邊結點的刪除（刪除結點時，需要把所有與結點相關聯的邊刪除;刪除邊時，僅刪除邊即可）

補圖

非連通圖的補圖是連通圖

自補圖：圖ģ補與其圖同構

笛卡爾積 GXH，叫做ģ叉乘ħ

立方體超 遞迴定義，即在定義了第一個超立方體之後，每一個超立方體是由它前一個構造得到的

網格 2-網格M（N，M）是由PM與光合速率叉乘得到的，3-網格M（A，B，C）是由PA，PB，PC叉乘得到的

線圖L（G） 的結點集是由圖ģ的邊組成的

收縮邊設UV是圖ģ的一條邊，我們將結點U，V去掉，並將與這兩個結點相關聯的邊也去掉，然後增加一個新的結點UV *，UV *與原結點相鄰接的結點鄰接，得到的新圖記為G / UV

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