拓撲排序（topological sorting）時間複雜度
阿新 • • 發佈：2019-01-01
AOV網路
在有向圖中，用頂點表示活動，用有向邊<Vi, Vj>表示活動Vi必須先於活動Vj進行。這種有向圖叫作頂底表示活動的網路(Active on vertices)，記作AOV網路。
在AOV網路中，如果活動Vi必須在Vj之前進行，則存在有向邊<Vi, Vj>，並稱Vi是Vj的直接前驅，Vj是Vi的直接後繼。這種前驅與後繼的關係具有傳遞性和反自反性，這要求AOV網路中不能出現迴路，即有向環。因此，對於給定的AOV網路，必須先判斷它是否存在有向環。
拓撲排序
檢測有向環可以通過對AOV網路構造它的拓撲有序序列(即進行拓撲排序，topological sorting)。該過程將各個頂點排列成一個線性有序的序列，使得AOV網路中所有的前驅和後繼關係都能得到滿足 。
如果拓撲排序能夠將AOV網路的所有頂點都排入一個拓撲有序的序列中，則說明該AOV網路中沒有有向環，否則AOV網路中必然存在有向環。AOV網路的頂點的拓撲有序序列不唯一。
拓撲排序演算法的虛擬碼
- 棧S初始化；累加器count初始化；
- 掃描頂點表，將沒有前驅（即入度為0）的頂點壓棧；
- 當棧S非空時迴圈
3.1 vj=退出棧頂元素；輸出vj；累加器加1；
3.2 將頂點vj的各個鄰接點的入度減1；
3.3 將新的入度為0的頂點入棧；- if (count<vertexNum) 輸出有迴路資訊；
利用頂點的入度陣列建立棧S
為了建立棧S，可以不另外分配儲存空間，直接利用入度陣列inDegree[]中為零的元素，同時設立一個棧頂指標top，指示當前棧頂的位置，即某一個入度為零的頂點位置。棧初始化時置top=-1，表示空棧。
- 將頂點w進棧時(此時w的入度為0, 不再需要inDegree[w])：
count[w] = top; top = w;- 退棧時:
v = top; top = inDegree[top]
演算法複雜度
如果AOV網路有n個頂點，e條邊，在拓撲排序的過程中，搜尋入度為零的頂點所需的時間是O(n)。在正常情況下，每個頂點進一次棧，出一次棧，所需時間O(n)。每個頂點入度減1的運算共執行了e次。所以總的時間複雜為O(n+e)。