0）拓撲排序

拓撲排序是對有向無圈圖的頂點的一種排序，這個排序的結果是如果存在一條vi到vj的路徑，那麼排序中vi在vj的前面。

下圖是一個有向無圈圖的例子：

在這個有向無圈圖中，1,6,5,7,4,2,3；1,6,5,7,2,4,3；這兩組都是拓撲排序，我們可以看到這兩種排序都滿足拓撲排序的要求，比如說1-4的路徑，可知1,7,4；1,6,5,4；1,6,7,4；1,6,5,7,4；這些路徑的點都按照拓撲排序的要求排列。

1） 簡單的拓撲排序演算法

下面我們介紹一個簡單的拓撲排序演算法：

a）先找到一個沒有輸入邊的點，輸出這個點，然後去掉與這個點連線的所有邊。

b）重複上面的步驟知道輸出所有的點。

這裡為了程式設計方便，我們要先定義一個叫做indegree的概念:

indegree: 頂點v包含的邊（u，v）的個數。

注意是有向圖的v包含的邊（u，v）的個數。因此對於上圖的點1，它的indegree=0，因為進入點1的邊為0，點1的三條邊全是指向外的。

所以通過引入indegree概念，上面的簡單演算法就可以用下面的方式表示

a） 查詢indegree為0的點p

b） 對所有與p鄰接的點的indegree = indegree -1；

c） 查詢indegree為0的點（p除外），然後迴圈過程

下面是簡單的拓撲排序演算法的一段虛擬碼

void TopSort(Graph G)
{
	int Num;
	Vertex V,W;
	for(Num=0;Num<NumVertex;Num++)
	{
		V = FindNewVertexOfDegreeZero();
		if(V==NotVertex)
		{
			Error("Graph has a cycle!");
			break;
		}
		Output[V] = Num;
		for each W adjacent to V
			Indegree[W]--;
	}
}
 

首先FindNewVertexOfDegreeZero()函式因為要找到indegree=0的點，所以需要遍歷所有的點，因此時間複雜度為O(|V|)。而這個函式需要重複|V|次，因此上面的演算法的時間複雜度為O(|V|^2)。因此我們需要做一些改進，來降低執行時間。

可以看到，這裡可能能夠進行改進的就是FindNewVertexOfDegreeZero()函式。當我們刪除一個indegree=0的點後，只有與這個鄰接的點的indegree才會減一，其他的點的indegree值不變，因此當我們需要在一次FindNewVertexOfDegreeZero時，不需要遍歷所有的點，只需要遍歷部分相關連的點就可以。

為了實現上面的思想，我們把indegree=0的點放到一個box中，因此FindNewVertexOfDegreeZero()函式只需要在這個box中尋找就好了。當一個點的indegree=0時，我們就把這個點輸入到box中。

演算法：

a） 把ndegree=0的點A放到一個Queue中；

b） 把點A出隊，然後對所有的與A鄰接的點的indegree減一；

c） 把新的ndegree=0的點入隊；

d） 重複上面的步驟

虛擬碼實現：

void TopSort(Graph G)
{
	Queue Q;
	int Num=0;
	Vertex V,W;
	Q = CreateQueue(NumVertex);
	MakeEmpty(Q);
	while(!IsEmpty(Q))
	{
		V = Dequeue(Q);
		TopNum[V] = ++Num;
		for each W adjacent to V
			if(--Indegree[W]==0)
				Enqueue(W,Q);
	}
	if(Num!=NumVertex)
		Error("Graph has a cycle!");
	Free(Q);
}