先把之前的思路記下來

月賽的時候看到這道題感覺還是很眼熟的，畢竟做過一道叫康娜的線段樹

跟這道題挺像的

但僅僅也是挺像而已

於是就發現不會了

首先先分析一下性質

顯然到達某一個葉子節點的概率就是

\[\frac{sum_x}{sum_{root}}\]

這是很顯然的，因為我們是一路向下走，第一次的概率是\(\frac{sum_{1}}{sum_{root}}\)，那麼接下來的概率是\(\frac{sum_2}{sum_{1}}\)，直到最後是\(\frac{sum_x}{sum_n}\)，之前的那些都是能約分的，於是到最後就只剩下了一個\(\frac{sum_x}{sum_{root}}\)

而每一個葉子節點的價值是從根到這個節點所經過的所有節點的權值和，我們定義\(x\)這個葉子節點到根所經過的節點的權值和是\(pre_x\)

那麼我們的答案就是

\[\sum_{i=1}^{n}\frac{sum_i*pre_i}{sum_{root}}\]

顯然分母都是一樣的，我們可以將\(\sum\)放到上面去

\[\frac{\sum_{i=1}^{n}sum_i*pre_i}{sum_{root}}\]

顯然下面的分母很好維護，難點就是維護上面的\(\sum_{i=1}^{n}sum_x*pre_x\)

我們先來考慮一下只有單點修改的情況

畫出線段樹來就會發現，每一次單點修改對所有葉子節點的\(pre_x\)

考慮維護一個上面哪個柿子的增量

除去這次被修改的節點\(now\),修改的增量是\(val\)，其他節點變成了

\[\sum_{i=1}^{n}sum_x*(pre_x+deep[LCA(now,x)]*val)\ [i!=x]\]

拆開來看

\[\sum_{i=1}^nsum_x*pre_x+\sum_{i=1}^{n}sum_x*deep[LCA(now,x)]*val\ [i!=x]\]

顯然前面那個是不變的，我們維護出後面那個柿子，也就是答案的增量就好了

還有一個點是特殊的也就是這次被修改的葉子節點\(now\)

原來是

\[sum_{now}*pre_{now}\]

現在是

\[(sum_{now}+val)(pre_{now}+val*deep[now])\]

那麼增量就是

\[sum_{now}*val*deep[now]+val*pre_{now}+val^2*deep[now]\]

由於線段樹的樹高只有\(log\)級別，我們可以求出來所有的\(LCA(now,x)\)，也就是線上段樹上一遍遞迴一遍統計答案

\(50\)分的暴力單點修改程式碼

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define re register
#define maxn 100005
const LL mod=998244353;
LL x,y;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b) return x=1,y=0,a;
    LL r=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return r;
}
inline LL inv(LL a)
{
    LL r=exgcd(a,mod,x,y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}
LL sum[maxn<<2],pre[maxn],p,q;
int deep[maxn];
LL a[maxn];
int n,m;
inline LL read()
{
    char c=getchar();
    LL x=0;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
    return x;
}
void build(int x,int y,int i,int dep)
{
    if(x==y) 
    {
        deep[x]=dep;
        sum[i]=a[x];
        return;
    }
    int mid=x+y>>1;
    build(x,mid,i<<1,dep+1);
    build(mid+1,y,i<<1|1,dep+1);
    sum[i]=(sum[i<<1]+sum[i<<1|1])%mod;
}
namespace baoli
{
    LL find_ans(int x,int y,int i,LL S)
    {
        if(x==y) return (S+sum[i])%mod*sum[i]%mod;
        int mid=x+y>>1;
        return (find_ans(x,mid,i<<1,(S+sum[i])%mod)+find_ans(mid+1,y,i<<1|1,(S+sum[i])%mod))%mod;
    }
    void build(int x,int y,int i)
    {
        if(x==y) 
        {
            sum[i]=a[x];
            return;
        }
        int mid=x+y>>1;
        build(x,mid,i<<1);
        build(mid+1,y,i<<1|1);
        sum[i]=(sum[i<<1]+sum[i<<1|1])%mod;
    }
    void change(LL val,int pos,int x,int y,int i)
    {
        if(x==y) 
        {
            sum[i]=(sum[i]+val)%mod;
            return;
        }
        int mid=x+y>>1;
        if(pos<=mid) change(val,pos,x,mid,i<<1);
        else change(val,pos,mid+1,y,i<<1|1);
        sum[i]=(sum[i<<1]+sum[i<<1|1])%mod;
    }
    void work()
    {
        build(1,n,1);
        int opt;
        LL x,y,v;
        while(m--)
        {
            opt=read();
            if(opt==2) 
            {
                LL now=find_ans(1,n,1,0);
                printf("%lld\n",now*inv(sum[1])%mod);
            }
            else 
            {
                x=read(),y=read(),v=read();
                for(re int i=x;i<=y;i++)
                    change(v,i,1,n,1);
            }
        }
    }
}
void dfs(int x,int y,int i,LL S)
{
    if(x==y) 
    {
        pre[x]=(a[x]+S)%mod;
        return;
    }
    int mid=x+y>>1;
    dfs(x,mid,i<<1,(S+sum[i])%mod);
    dfs(mid+1,y,i<<1|1,(S+sum[i])%mod);
}
LL change(int pos,LL val,int x,int y,int i,int dep,LL S)
{
    if(x==y)
    {
        S=(S+sum[i])%mod;
        LL now=((sum[i]*dep%mod*val%mod+val*S%mod)%mod+val*dep%mod*val%mod)%mod;
        sum[i]=(sum[i]+val)%mod;
        return now;
    }
    int mid=x+y>>1;
    LL now;
    if(pos<=mid) now=(change(pos,val,x,mid,i<<1,dep+1,(S+sum[i])%mod)+sum[i<<1|1]*dep%mod*val%mod)%mod;
    else now=(change(pos,val,mid+1,y,i<<1|1,dep+1,(S+sum[i])%mod)+sum[i<<1]*dep%mod*val%mod)%mod;
    sum[i]=(sum[i<<1]+sum[i<<1|1])%mod;
    return now;
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    if(n<=1000) baoli::work();
    else 
    {
        build(1,n,1,0);
        dfs(1,n,1,0);
        for(re int i=1;i<=n;i++)
            q=(q+a[i]*pre[i])%mod;
        p=sum[1];
        int opt;
        LL x,y,v;
        while(m--)
        {
            opt=read();
            if(opt==2) printf("%lld\n",q*inv(sum[1])%mod);
            else
            {
                x=read(),y=read(),v=read();
                for(re int i=x;i<=y;i++)
                    a[i]=(a[i]+v)%mod,q=(q+change(i,v,1,n,1,1,0))%mod;
            }
        }
    }
    return 0;
}

顯然這個樣子的話根本沒有辦法維護區間修改，於是我們回到最開始的那個柿子

\[\sum_{i=1}^{n}sum_i*pre_i\]

我們來化一下這個柿子

首先可以畫一棵線段樹

比如這個樣子

那麼很顯然\(pre_4=sum_1+sum_2+sum_4,pre_5=sum_1+sum_2+sum_5\)

我們把\(sum_4*pre_4+sum_5*pre_5\)拆開來看

就是

\[sum_4^2+sum_4*sum_2+sum_4*sum_1+sum_5^2+sum_2*sum_5+sum_5*sum_1\]

非常顯然的是\(sum_4+sum_5=sum_2\)

那麼這個柿子就可變成

\[sum_4^2+sum_5^2+(sum_4+sum_5)*sum_2+(sum_4+sum_5)*sum_1\]

\[sum_4^2+sum_5^2+sum_2^2+(sum_4+sum_5)*sum_1\]

那麼很顯然在右邊的那棵子樹裡我們還能湊出

\[sum_6^2+sum_7^2+sum_3^2+(sum_6+sum_7)*sum_1\]

那麼最後會發現

\[\sum_{i=1}^{n}sum_i*pre_i=\sum_{i=1}^{N}sum_i^2\]

\(N\)指線段樹上節點的個數

也就是說我們現在只是需要維護線段樹上所有節點的平方和就好了

至於這個東西維護就是套路了

程式碼

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL __int128
#define re register
#define maxn 100005
const LL mod=998244353;
LL x,y;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b) return x=1,y=0,a;
    LL r=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return r;
}
inline LL inv(LL a)
{
    LL r=exgcd(a,mod,x,y);
    return (x%mod+mod)%mod;
}
LL a[maxn];
int n,m;
inline LL read()
{
    char c=getchar();
    LL x=0;
    while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')
        x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
    return x;
}
void write(LL x)
{
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+48);
}
LL sum[maxn<<2],sz[maxn<<2],tag[maxn<<2],sq[maxn<<2],_sz[maxn<<2],sl[maxn<<2];
int l[maxn<<2],r[maxn<<2];
inline void pushup(int i)
{
    sum[i]=(sum[i<<1]+sum[i<<1|1])%mod;
    sq[i]=((sq[i<<1]+sq[i<<1|1])%mod+sum[i]*sum[i]%mod)%mod;
    sl[i]=((sl[i<<1]+sl[i<<1|1])%mod+sum[i]*sz[i]%mod)%mod;
}
void build(int x,int y,int i)
{
    l[i]=x,r[i]=y;
    if(x==y) 
    {
        sum_sz[i]=_sz[i]=sz[i]=1;
        sum[i]=a[x];
        sl[i]=(sum[i]*sz[i])%mod;
        sq[i]=(a[x]*a[x])%mod;
        return;
    }
    int mid=x+y>>1;
    build(x,mid,i<<1),build(mid+1,y,i<<1|1);
    sz[i]=(sz[i<<1|1]+sz[i<<1])%mod;
    _sz[i]=((_sz[i<<1|1]+_sz[i<<1])%mod+sz[i]*sz[i]%mod)%mod;
    pushup(i);
}
inline void pushdown(int i)
{
    if(!tag[i]) return;
    sq[i<<1]=(sq[i<<1]+(_sz[i<<1]*tag[i]%mod)*tag[i]%mod+2*tag[i]%mod*sl[i<<1]%mod)%mod;
    sq[i<<1|1]=(sq[i<<1|1]+(_sz[i<<1|1]*tag[i]%mod)*tag[i]%mod+2*tag[i]*sl[i<<1|1]%mod)%mod;
    tag[i<<1]=(tag[i<<1]+tag[i])%mod;
    tag[i<<1|1]=(tag[i<<1|1]+tag[i])%mod;
    sl[i<<1]=(sl[i<<1]+_sz[i<<1]*tag[i]%mod)%mod;
    sl[i<<1|1]=(sl[i<<1|1]+_sz[i<<1|1]*tag[i])%mod;
    sum[i<<1]=(sum[i<<1]+sz[i<<1]*tag[i])%mod;
    sum[i<<1|1]=(sum[i<<1|1]+sz[i<<1|1]*tag[i])%mod;
    tag[i]=0;
}
void change(int x,int y,LL val,int i)
{
    if(x<=l[i]&&y>=r[i])
    {
        sq[i]=(sq[i]+(_sz[i]*val)%mod*val%mod+2*val*sl[i]%mod)%mod;
        tag[i]=(tag[i]+val)%mod;
        sl[i]=(sl[i]+_sz[i]*val%mod)%mod;
        sum[i]=(sum[i]+sz[i]*val%mod)%mod;
        return;
    }
    pushdown(i);
    int mid=l[i]+r[i]>>1;
    if(y<=mid) change(x,y,val,i<<1);
    else if(x>mid) change(x,y,val,i<<1|1);
    else change(x,y,val,i<<1|1),change(x,y,val,i<<1);
    pushup(i);
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    build(1,n,1);
    int opt,x,y;
    LL v;
    while(m--)
    {
        opt=read();
        if(opt==2) write(sq[1]*inv(sum[1])%mod),putchar(10);
            else x=read(),y=read(),v=read(),change(x,y,v,1);
    }
    return 0;
}