SVM（Support Vector Machines）是分類演算法中應用廣泛、效果不錯的一類。《統計學習方法》對SVM的數學原理做了詳細推導與論述，本文僅做整理。由簡至繁SVM可分類為三類：線性可分（linear SVM in linearly separable case）的線性SVM、線性不可分的線性SVM、非線性（nonlinear）SVM。

1.線性可分

對於二類分類問題，訓練集

，其類別

，線性SVM通過學習得到分離超平面（hyperplane）:

以及相應的分類決策函式：

有如下圖所示的分離超平面，哪一個超平面的分類效果更好呢？

直觀上，超平面

的分類效果更好一些。將距離分離超平面最近的兩個不同類別的樣本點稱為支援向量（support vector）的，構成了兩條平行於分離超平面的長帶，二者之間的距離稱之為margin。顯然，margin更大，則分類正確的確信度更高（與超平面的距離表示分類的確信度，距離越遠則分類正確的確信度越高）。通過計算容易得到：

從上圖中可觀察到：margin以外的樣本點對於確定分離超平面沒有貢獻，換句話說，SVM是有很重要的訓練樣本（支援向量）所確定的。至此，SVM分類問題可描述為在全部分類正確的情況下，最大化

（等價於最小化

）；線性分類的約束最優化問題

對每一個不等式約束引進拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）

構造拉格朗日函式（Lagrange function）：

根據拉格朗日對偶性，原始的約束最優化問題可等價於極大極小的對偶問題：

將

對

求偏導並令其等於0，則

將上述式子代入拉格朗日函式（3）中，對偶問題轉為

等價於最優化問

線性可分是理想情形，大多數情況下，由於噪聲或特異點等各種原因，訓練樣本是線性不可分的。因此，需要更一般化的學習演算法。

2.線性不可分

線性不可分意味著有樣本點不滿足約束條件（2），為了解決這個問題，對每個樣本引入一個鬆弛變數

這樣約束條件變為：

目標函式則變為

其中，

為懲罰函式，目標函式有兩層含義：

• margin儘量大，
• 誤分類的樣本點計量少

為調節二者的引數。通過構造拉格朗日函式並求解偏導（具體推導略去），可得到等價的對偶問題：

與上一節中線性可分的對偶問題相比，只是約束條件

發生變化，問題求解思路與之類似。

3.非線性

對於非線性問題，線性SVM不再適用了，需要非線性SVM來解決了。解決非線性分類問題的思路，通過空間變換ϕ（一般是低維空間對映到高維空間

後實現線性可分，在下圖所示的例子中，通過空間變換，將左圖中的橢圓分離面變換成了右圖中直線。

在SVM的等價對偶問題中的目標函式中有樣本點的內積

在空間變換後則是

由於維數增加導致內積計算成本增加，這時核函式（kernel function）便派上用場了，將對映後的高維空間內積轉換成低維空間的函式：

將其代入一般化的SVM學習演算法的目標函式（7）中，可得非線性SVM的最優化問題：

4.參考資料

[1] 李航，《統計學習方法》.

[2] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.

往期回顧：