先看一道題目：

1. 【NOIP2014模擬8.24】小X 的二叉堆計數 (Standard IO)
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   Description
   眾所周知，完全二叉樹是一種二叉樹，滿足除最後一層外的每層結點都是滿的，且最後一層的結點連續集中在左方。而二叉堆是一種完全二叉樹，分為大根堆和小根堆，大根堆滿足父結點的值不小於子結點的值，小根堆滿足父結點的值不大於子結點的值。
   小X 最近對二叉堆和樹的計數都很感興趣，他想知道n 個互不相同的數能構成多少個不同的大小為n 的二叉堆，希望你幫幫他。
   Input
   第一行包含一個整數n。
   Output
   第一行包含一個整數，表示能構成的二叉堆個數模10^9 + 7。
   Sample Input
   3
   Sample Output
   4
   Data Constraint
   對於30% 的資料，n ≤ 10。
   對於60% 的資料，n ≤ 1000。
   對於80% 的資料，n ≤ 10^5。
   對於100% 的資料，1 ≤ n ≤ 5 × 10^6。

對於這道題目，先講講較為容易想到的方法。
設一個方程F[i]表示有I個節點時能構建的堆的個數。
方程：F[i]=F[i.left]*F[i.right]*C(i-1,i.left)
i.left和i.right分別表示在節點數為i的情況下完全二叉樹的左右子樹節點個數。
同時為了方便計算，可以先把要用到的節點處理一下，之後就只用計算這些節點。

BUT——
這個方法最大的問題就是求組合數。
看看組合數的公式：
N!
C(N,M)=————–
M!(N-M)!
因為算出來的數要MOD 10^9+7，所以我們只能把上下兩個數分解，再互相抵消，最後邊乘邊mod。

設被除數和除數為a,b，這個公式應該是這樣：
C(N,M)=a/b mod md (md=10^9+7)

思考：如何優化？
因為邊乘邊MOD，最後一起除會錯，那為什麼不可以把除法轉成乘法？
得出：
a*(1/b) mod md
a我們很容易算，重點是算b。

再引入一個概念：
費馬小定理：b^(c-1) mod c=1 (b為質數)
把式子左右兩邊同除b，得
b^(c-2) mod c=1/b

把得出來的式子代回去，得：(無視a)
b^(md-2) mod md
而10^9+7剛好又是一個質數，所以可以滿足這個條件。

再把b拆開：
(M!(N-M)! mod md)^(md-2) mod md
現在就很好算了。

總結：

費馬小定理：a^(c-1) mod c=1
得a^(c-2) mod c=1/c
把式子往回代，再用快速冪取模。
總之就是要仔細觀察題目，多看幾遍自然就明白了。