揹包問題——“完全揹包”詳解及實現（包含揹包具體物品的求解）
原文地址：http://blog.csdn.net/wumuzi520/article/details/7014830
完全揹包是在N種物品中選取若干件（同一種物品可多次選取）放在空間為V的揹包裡，每種物品的體積為C1，C2，…，Cn，與之相對應的價值為W1,W2，…，Wn.求解怎麼裝物品可使揹包裡物品總價值最大。
動態規劃（DP）：
1） 子問題定義：F[i][j]表示前i種物品中選取若干件物品放入剩餘空間為j的揹包中所能得到的最大價值。
2） 根據第i種物品放多少件進行決策
(2-1)
其中F[i-1][j-K*C[i]]+K*W[i]表示前i-1種物品中選取若干件物品放入剩餘空間為j-K*C[i]的揹包中所能得到的最大價值加上k件第i種物品；
設物品種數為N，揹包容量為V，第i種物品體積為C[i]，第i種物品價值為W[i]。
與01揹包相同，完全揹包也需要求出NV個狀態F[i][j]。但是完全揹包求F[i][j]時需要對k分別取0,…，j/C[i]求最大F[i][j]值,耗時為j/C[i]。那麼總的時間複雜度為O(NV∑(j/C[i]))
由此寫出虛擬碼如下：
- F[0][] ← {0}
-
F[][0] ← {0}
- for i←1 to N
- dofor j←1 to V
- dofor k←0 to j/C[i]
- if(j >= k*C[i])
- then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][j-k*C[i]]+k*W[i])
- return F[N][V]
以上虛擬碼陣列均為基於1索引，即第一件物品索引為1。空間複雜度O(VN)、時間複雜度為O(NV∑(j/C[i]))
簡單優化：
若兩件物品滿足C[i] ≤C[j]&&W[i] ≥W[j]時將第j種物品直接篩選掉。因為第i種物品比第j種物品物美價廉，用i替換j得到至少不會更差的方案。
這個篩選過程如下：先找出體積大於揹包的物品直接篩掉一部分（也可能一種都篩不掉）複雜度O(N)。利用計數排序思想對剩下的物品體積進行排序，同時篩選出同體積且價值最大的物品留下，其餘的都篩掉（這也可能一件都篩不掉）複雜度O(V)。整個過程時間複雜度為O(N+V)
轉化為01揹包：
因為同種物品可以多次選取，那麼第i種物品最多可以選取V/C[i]件價值不變的物品，然後就轉化為01揹包問題。整個過程的時間複雜度並未減少。如果把第i種物品拆成體積為C[i]×2k價值W[i]×2k的物品，其中滿足C[i]×2k≤V。那麼在求狀態F[i][j]時複雜度就變為O(log2(V/C[i]))。整個時間複雜度就變為O(NVlog2(V/C[i]))
時間複雜度優化為O(NV)
將原始演算法的DP思想轉變一下。
設F[i][j]表示出在前i種物品中選取若干件物品放入容量為j的揹包所得的最大價值。那麼對於第i種物品的出現，我們對第i種物品放不放入揹包進行決策。如果不放那麼F[i][j]=F[i-1][j]；如果確定放，揹包中應該出現至少一件第i種物品，所以F[i][j]種至少應該出現一件第i種物品,即F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i]。為什麼會是F[i][j-C[i]]+W[i]？因為F[i][j-C[i]]裡面可能有第i種物品，也可能沒有第i種物品。我們要確保F[i][j]至少有一件第i件物品，所以要預留C[i]的空間來存放一件第i種物品。
狀態方程為：
(2-2)
虛擬碼為：
- F[0][] ← {0}
- F[][0] ← {0}
- for i←1 to N
- dofor j←1 to V
- F[i][j] ← F[i-1][j]
- if(j >= C[i])
- then F[i][j] ← max(F[i][j],F[i][j-C[i]]+ W[i])
- return F[N][V]
具體揹包中放入那些物品的求法和01揹包情況差不多，從F[N][V]逆著走向F[0][0]，設i=N,j=V，如果F[i][j]==F[i][j-C[i]]+W[i]說明包裡面有第i件物品，同時j -= C[i]。完全揹包問題在處理i自減和01揹包不同，01揹包是不管F[i][j]與F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要減1，因為01揹包的第i件物品要麼放要麼不放，不管放還是不放其已經遍歷過了，需要繼續往下遍歷而完全揹包只有當F[i][j]與F[i-1][j]相等時i才自減1。因為F[i][j]=F[i-1][j]說明揹包裡面不會含有i，也就是說對於前i種物品容量為j的揹包全部都放入前i-1種物品才能實現價值最大化，或者直白的理解為前i種物品中第i種物品物不美價不廉，直接被篩選掉。
列印揹包內物品的虛擬碼如下：
- i←N
- j←V
- while(i>0 && j>0)
- doif(F[i][j]=F[i][j-C[i]]+W[i])
- then Print W[i]
- j←j-C[i]
- else
- i←i-1
和01揹包一樣，也可以利用一個二維陣列Path[][]來標記揹包中的物品。開始時Path[N][V]初始化為0,當 F[i][j]==F[i][j-C[i]]+W[i]時Path[i][j]置1。最後通過從Path[N+1][V+1]逆著走向Path[0][0]來獲取揹包內物品。其中Path[0][]與Path[][0]為邊界。同樣，在列印路徑的時候當Path[][]=1時，列印W[i]；Path[][]=0時i自減1.
加入路徑資訊的虛擬碼如下：
- F[0][] ← {0}
- F[][0] ← {0}
- Path[][] ← 0
- for i←1 to N
- dofor k←1 to V
- F[i][k] ← F[i-1][k]
- if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i][k-C[i]]+W[i])
- then F[i][k] ← F[i][k-C[i]]+W[i]
- Path[i][k] ← 1
- return F[N][V] and Path[][]
列印揹包內物品的虛擬碼如下：
- i←N
- j←V
- while(i>0 && j>0)
- doif(Path[i][j]=1)
- then Print W[i]
- j←j-C[i]
- else
- i←i-1
優化空間複雜度為O（V）
和01揹包問題一樣，完全揹包也可以用一維陣列來儲存資料。演算法樣式和01揹包的很相似，唯一不同的是對V遍歷時變為正序，而01揹包為逆序。01揹包中逆序是因為F[i][]只和F[i-1][]有關，且第i件的物品加入不會對F[i-1][]狀態造成影響。而完全揹包則考慮的是第i種物品的出現的問題，第i種物品一旦出現它勢必應該對第i種物品還沒出現的各狀態造成影響。也就是說，原來沒有第i種物品的情況下可能有一個最優解，現在第i種物品出現了，而它的加入有可能得到更優解，所以之前的狀態需要進行改變，故需要正序。
狀態方程為：
(2-3)
虛擬碼如下：
- F[] = {0}
- for i←1 to N
- dofor k←C[i] to V
- F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])
- return F[V]
具體揹包中放入那些物品的求法和上面空間複雜度為O(NV)演算法一樣，用一個Path[][]記錄揹包資訊。但這裡面是當F[i]=F[i-C[i]]+W[i]時將Path置1.
虛擬碼如下：
- F[0][] = {0}
- F[][0] = {0}
- Path[][] ← 0
- for i←1 to N
- dofor k←C[i] to V
- if(F[i] < F[k-C[i]]+W[i])
- then F[i] ← F[k-C[i]]+W[i]
- Path[i][k] ← 1
- return F[N][V] and Path[][]
列印路徑的虛擬碼和前面未壓縮空間複雜度時的虛擬碼一樣，這裡不再重寫。
舉例：表2-1為一個揹包問題資料表，設揹包容量為10根據上述解決方法可得到對應的F[i][j]如表2-2所示，最大價值即為F[6][10].
表2-1揹包問題資料表
| 物品號i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 體積C | 3 | 2 | 5 | 1 | 6 | 4 |
| 價值W | 6 | 5 | 10 | 2 | 16 | 8 |
表2-2前i件物品選若干件放入空間為j的揹包中得到的最大價值表
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 12 | 12 | 12 | 18 | 18 |
| 2 | 0 | 0 | 5 | 6 | 10 | 11 | 15 | 16 | 20 | 21 | 25 |
| 3 | 0 | 0 | 5 | 6 | 10 | 11 | 15 | 16 | 20 | 21 | 25 |
| 4 | 0 | 2 | 5 | 7 | 10 | 12 | 15 | 17 | 20 | 22 | 25 |
| 5 | 0 | 2 | 5 | 7 | 10 | 12 | 16 | 18 | 21 | 23 | 26 |
| 6 | 0 | 2 | 5 | 7 | 10 | 12 | 16 | 18 | 21 | 23 | 26 |
下面針對前面提到的表2-1提供兩種方法的測試程式碼：
- #include <iostream>
- #include <cstring>
- #include "CreateArray.h" //該標頭檔案用於二維陣列的建立及銷燬，讀者自己實現
- usingnamespace std;
//時間複雜度O(VN),空間複雜度為O(VN)
- int Package02(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
- {
- int** Table = NULL;
- int** Path = NULL;
- CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1); //建立二維陣列
- CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //建立二維陣列
- for(int i = 1; i <= nLen; i++)
- {
- for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)
- {
- Table[i][j] = Table[i-1][j];
- if(j >= Weight[i-1] && Table[i][j] < Table[i][j-Weight[i-1]]+Value[i-1])
- {
- Table[i][j] = Table[i][j-Weight[i-1]]+Value[i-1];
- Path[i][j]=1;
- }
- }
- }
- int i = nLen, j = nCapacity;
- while(i > 0 && j > 0)
- {
- if(Path[i][j] == 1)
- {
- cout << Weight[i-1] << " ";
-
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