-----Edit by ZhuSenlin HDU

         01揹包是在M件物品取出若干件放在空間為W的揹包裡，每件物品的體積為C₁，C₂，…，C_n，與之相對應的價值為W₁,W₂，…，W_n.求解將那些物品裝入揹包可使總價值最大。

        動態規劃（DP）：

        1） 子問題定義：F[i][j]表示前i件物品中選取若干件物品放入剩餘空間為j的揹包中所能得到的最大價值。

        2） 根據第i件物品放或不放進行決策

                                                  (1-1)

        其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中選取若干件物品放入剩餘空間為j的揹包中所能得到的最大價值；

        而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中選取若干件物品放入剩餘空間為j-C[i]的揹包中所能取得的最大價值加上第i件物品的價值。

        根據第i件物品放或是不放確定遍歷到第i件物品時的狀態F[i][j]。

        設物品件數為N，揹包容量為V，第i件物品體積為C[i]，第i件物品價值為W[i]。

        由此寫出虛擬碼如下：

     F[0][] ← {0}

     F[][0] ← {0}

     for i←1 to N

         do for k←1 to V

             F[i][k] ← F[i-1][k]

             if(k >= C[i])

                 then F[i][k] ← max(F[i][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i])

     return F[N][V]
 

        以上虛擬碼陣列均為基於1索引，及第一件物品索引為1。時間及空間複雜度均為O(VN)

        舉例：表1-1為一個揹包問題資料表，設揹包容量為10根據上述解決方法可得到對應的F[i][j]如表1-2所示，最大價值即為F[6][10].

表1-1揹包問題資料表

表1-2前i件物品選若干件放入空間為j的揹包中得到的最大價值表

         很多文章講揹包問題時只是把最大價值求出來了，並沒有把所選的是哪些物品找出來。本人在學習揹包問題之前遇到過很多的類似問題，當時也是隻求得了最大價值或最大和，對具體哪些物品或路徑等細節也束手無策。再次和大家一起分享細節的求法。

        根據演算法求出的最大價值表本身其實含有位置資訊，從F[N][V]逆著走向F[0][0]，設i=N,j=V，如果F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]說明包裡面有第i件物品，同時j -= C[i]，不管F[i][j]與F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要減1，因為01揹包的第i件物品要麼放要麼不放，不管放還是不放其已經遍歷過了，需要繼續往下遍歷。

列印揹包內物品的虛擬碼如下：

     i←N

     j←V

     while(i>0 && j>0)

         do if(F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i])

             then Print W[i]

                  j←j-C[i]

         i←i-1

         當然也可以定義一個二維陣列Path[N][V]來存放揹包內物品資訊，開始時Path[N][V]初始化為0,當 F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]時Path[i][j]置1。最後通過從Path[N+1][V+1]逆著走向Path[0][0]來獲取揹包內物品。其中Path[0][]與Path[][0]為邊界。

        加入路徑資訊的虛擬碼如下：

     F[0][] ← {0}

     F[][0] ← {0}

     Path[][] ← 0

     for i←1 to N

         do for k←1 to V

             F[i][k] ← F[i-1][k]

             if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i-1][k-C[i]]+W[i])

                 then F[i][k] ← F[i-1][k-C[i]]+W[i]

                      Path[i][k] ← 1

     return F[N][V] and Path[][]

 列印揹包內物品的虛擬碼如下：

     i←N

     j←V

     while(i>0 && j>0)

         do if(Path[i][j] = 1)

             then Print W[i]

                  j←j-C[i]

         i←i-1

    在時間及空間複雜度均為O(NV)的情況下，利用Path[][]的方法明顯比直接通過F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]來列印物品耗費空間，Path[][]需要額外的空間O(NV)但總空間複雜度不變仍為O(NV)。但下面要講到的O(V)的空間複雜度的方法卻不能利用關係式F [j]==F [j-C[i]]+W[i]而只能利用Path[][]進行標記.

接下來考慮如何壓縮空間，以降低空間複雜度。

時間複雜度為O(VN)，空間複雜度將為O（V）

        觀察虛擬碼可也發現，F[i][j]只與F[i-1][j]和F[i-1][j-C[i]]有關，即只和i-1時刻狀態有關，所以我們只需要用一維陣列F[]來儲存i-1時的狀態F[]。假設i-1時刻的F[]為{a₀，a₁，a₂，…，a_v}，難麼i時刻的F[]中第k個應該為max(a_k,a_k-C[i]+W[i])即max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])，這就需要我們遍歷V時逆序遍歷，這樣才能保證求i時刻F[k]時F[k-C[i]]是i-1時刻的值。如果正序遍歷則當求F[k]時其前面的F[0],F[1]，…，F[K-1]都已經改變過，裡面存的都不是i-1時刻的值，這樣求F[k]時利用F[K-C[i]]必定是錯的值。最後F[V]即為最大價值。

求F[j]的狀態方程如下：

                                           (1-2)

虛擬碼如下：

     F[] ← {0}

     for i ← 1 to N

         do for k ← V to C[i]

             F[k] ← max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])

     return F[V]

同樣，怎麼求路徑？

        利用前面講到的Path[][]標記，需空間消耗O(NV)。這裡不能用F [j]==F [j-C[i]]+W[i]來判斷是因為一維陣列並不能提供足夠的資訊來尋找二維路徑。

        加入路徑資訊的虛擬碼如下：

     F[] ← {0}

     Path[][]←0

     for i←1 to N

         do for k←V to C[i]

            if(F[k] < F[k-C[i]]+W[i])

                 then F[k] ← F[k-C[i]]+W[i]

                      Path[i][k] ← 1

     return F[V] and Path[][]

列印路徑的虛擬碼和前面未壓縮空間複雜度時的虛擬碼一樣，這裡不再重寫。

下面針對前面提到的表1-1提供兩種方法的測試程式碼： 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include "CreateArray.h"	//該標頭檔案用於動態建立及銷燬二維陣列，讀者自己實現
using namespace std;

//時間複雜度O(VN),空間複雜度為O(VN)

int Package01(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
{
	int** Table = NULL;
	int** Path = NULL;
	CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1);	//建立二維陣列
	CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1);	//建立二維陣列
	
	for(int i = 1; i <= nLen; i++)
	{
		for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)
		{
			Table[i][j] = Table[i-1][j];
			Path[i][j] = 0;
			if(j >= Weight[i-1] && Table[i][j] < Table[i-1][j-Weight[i-1]]+Value[i-1])
			{
				Table[i][j] = Table[i-1][j-Weight[i-1]]+Value[i-1];
				Path[i][j] = 1;
			}
		}
	}

	int i = nLen, j = nCapacity;
	while(i > 0 && j > 0)
	{
		if(Path[i][j] == 1)
		{
			cout << Weight[i-1] << " ";
			j -= Weight[i-1];
		}
		i--;
	}
	cout << endl;

	int nRet = Table[nLen][nCapacity];
	DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1);	//銷燬二維陣列
	DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);	//銷燬二維陣列
	return nRet;
}

//時間複雜度O(VN)，不考慮路徑空間複雜度為O(V)，考慮路徑空間複雜度為O(VN)

int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)
{
	int * Table = new int [nCapacity+1];
	memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));
	int** Path = 0;
	CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1);	//建立二維陣列

	for(int i = 0; i < nLen; i++)
	{
		for(int j = nCapacity; j >= Weight[i]; j--)
		{
			Path[i+1][j] = 0;
			if(Table[j] < Table[j-Weight[i]]+Value[i])
			{
				Table[j] = Table[j-Weight[i]]+Value[i];
				Path[i+1][j] = 1;
			}
		}	
	}

	int i = nLen, j = nCapacity;
	while(i > 0 && j > 0)
	{
		if(Path[i][j] == 1)
		{
			cout << Weight[i-1] << " ";
			j -= Weight[i-1];
		}

		i--;
	}
	cout << endl;
	
	int nRet = Table[nCapacity];
	DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1);	//銷燬二維陣列
	delete [] Table;
	return nRet;
}

測試程式碼

int main()
{
	int Weight[] = {2,3,1,4,6,5};
	int Value[] =  {5,6,5,1,19,7};
	int nCapacity = 10;
	cout << Package01(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
	cout << Package01_Compress(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;
	return 0;
}

本文部分內容參考“揹包九講”