演算法簡介

首先是一些概念：

• 費馬小定理：對於素數p和任意整數a，有ap≡a(modp).
• 反之，對於一個數p，如果滿足ap≡a(modp)，則 p 很可能是素數。
• 偽素性測試：瞎猜若干個x，只要不滿足上式，那麼p就不是素數。看起來沒毛病了。
• Carmichael數：對於合數n，如果對所有正整數b（b和n互素）都有bn−1≡1(modn)成立，則合數n為Carmichael數。比如561。這種數的存在使得上面的方法淪為“偽素性測試”。
• 二次探測定理：如果p是奇素數，則 x2≡1(modp)的解為x = 1或x = p - 1(mod p)，這是由模運算的迴圈特性導致的。

利用二次探測定理，只需要探測s次就可以將錯誤率降到2^(-s)（好像是這樣吧。。反正很低就對了），因此也不會多花多少時間。
記得判素時的細節處理以及快速冪取模。

程式碼

應該是最簡潔的模板了。。

#include <cstdio>
using namespace std;

typedef long long ll;

ll prime[5] = {2, 3, 5, 233, 331};

ll pow_mod(ll a, ll n, ll mod)
{
    ll ret = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        n >>= 1;
    }
    return
 
 ret;
}

int miller_rabin(ll n)
{
    if (n < 2 || (n != 2 && !(n & 1))) return 0;
    ll s = n - 1;
    while (!(s & 1)) s >>= 1;
    for (int i = 0; i < 5; ++i) {
        if (n == prime[i]) return 1;
        ll t = s, m = pow_mod(prime[i], s, n);
        while (t != n - 1
 
 && m != 1 && m != n - 1) {
            m = m * m % n;
            t <<= 1;
        }
        if (m != n - 1 && !(t & 1)) return 0;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    ll n;
    while (~scanf("%lld", &n))
        printf("%s\n", miller_rabin(n) ? "YES" : "NO");
    return 0;
}