一、樸素的判斷一個數是否為素數：

原理：若一個數為合數，那麼必然存在這樣的兩個數：2<=a<=sqrt(n) <=b<n，使得n=a*b。

解法：從 2 到 sqrt(n) 列舉，若存在數字 a 為數 n 的因子，那麼數字 n 即為合數。若不存在，則數字 n 為偶數。

程式碼：

isprime(i)==1  表示數字 i 為質數

bool isprime(int n)
{
  if(n<2)return 0;
  if(n==2)return 1;
  if(n%2==0)return 0;
  /*
    去掉n為偶數的情況，那麼n的因子就只能是奇
    數，下方列舉時，就可以只列舉奇數因子。 
  */
  int i,j,k;
  k=(int)sqrt(n*1.0);
  /*
    這裡需要特別注意，sqrt裡面的引數為實數，如果引數為整數，
    可能會報錯。記得我有一次在hdoj上做了一題，用c++可以編譯
    通過，用G++就不行，找了好久，才發現是這個引數問題。
  */ 
  for(i=3;i<=k;i+=2)
    if(n%i==0)return 0;
  return 1;  
}
 

其次，fermat素性測試與Miller-Rabin素性測試的結果均為不確定的，即不保證完全正確。保證完全正確的演算法有：AKS演算法 （發表的相應論文名：ＰＲＩＭＥ　ｉｓ　ｉｎ　Ｐ）。

二、fermat素性測試

原理：費馬小定理：

           假如p是質數，且Gcd(a,p)=1，那麼 a(p-1) ≡1（mod p）。即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那麼a的(p-1)次方除以p的餘數恆等於1。

思路：那麼，根據費馬小定理的逆定理，如果們找到一個 a ，使得 a ^(n-1)%n !=1，是否就可以確定數字 n 不是質數呢？很遺憾，這是不行的，費馬小定理的逆定理並不正確。

            偽素數：滿足2^(n-1)%n==1的合數 n 。

                          滿足a^(n-1)%n==1的合數n叫做以 a 為底的偽素數。

            Carmichael數：對於所有小於 n 的底數 a，都滿足a^(n-1)%n==1 的數。（前10億個數中，僅有600多個這樣的數存在）。

            在具體實現用fermat素性測試中，我們一般是隨機選取有限個數的底數 a ，對 n 進行素性測試。若全部滿足，則認為數字 n 是質數，若有一個不滿足，則認為數字 n 不是質數。

三、Miller-Rabin素性測試。

原理：如果p是素數，x是小於p的正整數，且x^2 % p==1，那麼x==1 或者 x==p-1。

思路：Miller-Rabin素性測試是對fermat素性測試的優化，極大地提高了正確性，雖然仍是一個不確定演算法。

          我們以 a==2，n==341為例，演示一下該測試是如何進行的。（2^340%341==1，但是341並不是一個質數）

2^340%341==1  ==> (2^170%341)^2 %341==1

==>    2^170%341==1    或者    2^170%341==340，而2^170%341==1，定理繼續適用

         2^170%341==1  ==>  (2^85%341)^2  %341 ==1

==>   2^85%341==1   或者  2^85%341==340 ，很遺憾的是，兩個都不成立，與上述所提到的原理相悖，所以341不是素數。

         Millar-Rabin素性測試： n-1=d*2^r，如果n是一個素數，那麼a^d%n==1，或者是存在某個 i 使得 a^(d*2^i)%n==n-1（0<=i<r）。

        強偽素數：通過以 a 為底的Millar-Rabin測試的合數稱為以 a 為底的強偽素數。

程式碼： 

對底數 a 的選擇，我是直接求10^5以內的素數，並選取 1 ——> maxn3 的素數為底，當然，你也可以隨機選取。

在使用的時候，要注意 n*n 不能超過 n 的資料類型範圍，比如int n，那麼 n*n就不能超過 int 範圍。

#include<cstdio>
#define maxn1 50000
#define maxn2 10000
#define maxn3 5000
using namespace std;

bool f[maxn1+100];
int p[maxn2];

void pre_a()
{
  int i,j,k,x,y,z;
  p[++p[0]]=2;
  for(i=1;i<=maxn1;i++)
    {
      k=i*2+1;
      if(!f[i])p[++p[0]]=k;
      for(j=2;j<=p[0] && k*p[j]/2<=maxn1;j++)
        {
          f[k*p[j]/2]=1;
          if(k%p[j]==0)break;
        }
    }
}

int pp(int a,long long d,long long n)
{
  long long ans=1,x=a;
  while(d>0)
    {
      if(d&1)ans=(ans*x)%n;
      x=(x*x)%n,d>>=1;
    }
  return ans;  
}

bool ok(int a,long long n)
{
  long long d,t;
  d=n-1;
  while((d&1)==0)d>>=1;
  t=pp(a,d,n);
  while(d!=n-1 && t!=1 && t!=n-1)
    t=(t*t)%n,d<<=1;
  return t==n-1 || d&1;  
}

bool isprime(long long n)
{
  if(n<2)return 0;
  if(n==2)return 1;
  if((n&1)==0)return 0;
  if(n/2<=maxn1)return !f[n/2];
  
  for(int i=1;i<=maxn3;i++)
    if(!ok(p[i],n))return 0;
  return 1;
} 

int main()
{
  pre_a();
  long long n;
  scanf("%I64d",&n);
  if(isprime(n))printf("n是質數\n");
  else printf("n是合數\n");
  return 0;
}