【學習筆記】兩種非旋轉平衡樹在OI中的應用

前言

$NOIP$ 掛完之後打算把資料結構啃完（不包括 $L C$

C , E T T , A V L , z

y f LCC,ETT,AVL,zyf

L C C, E T T, A V L, z y f

等神仙資料結構），於是就開始學習非旋轉的平衡樹了。然後發現自己被旋轉平衡樹坑了好久。。非旋轉的程式碼各種吊打旋轉平衡樹。。。。廢話不多說，今天主要討論的兩種非旋轉平衡樹分別是fhqTreap和替罪羊樹。

fhqTreap

非旋轉 $T$

r e a p Treap

T r e a p

，範浩強

Treap

。
眾所周知，

Treap

相當於是

Heap+Bst

而

Treap

的複雜度保證基於期望意義下樹的深度不超過

O(logn)

，而Treap採用旋轉是為了滿足堆的性質。
也就是說，

Treap

的旋轉操作和複雜度並不直接掛鉤，我們拋棄以前的旋轉做法，考慮如何插入一個節點

nw

。
一種神奇的思路是，把一棵樹劈開，分成兩棵樹

left,right

，這兩棵樹中

v_{left}\le v_{nw}&lt;v_{right}

。把一個節點看成一棵樹，把這三棵樹合併起來。
這就是FHQ著名的兩個操作

Split

和

Merge

Split

假設當前節點為 $p$ ，插入節點的權值是 $v$ ,分兩種情況。

$v[p]\le val$ ，此時當前節點以及整個左子樹都要放 $left$ 中，之後如果再有節點放入左子樹，一定在當前節點的右邊。
$v[p]> val$ ，此時當前節點以及整個右子樹都要放 $right$ 中，之後如果再有節點放入右子樹，一定在當前節點的左邊。

基於這個思路，採用引用的方式可以得到如下程式碼。

void Split(int u, int &a, int &b, int x) {
    if(!u) return void(a = b = 0);
    if(val[u] <= x)
        a = u, Split(rs[u], rs[a], b, x);
    else 
        b = u, Split(ls[u], a, ls[b], x);
    Up(u);
}

核心操作1結束了。

Merge

類似左偏樹的合併，不過採用啟發式合併，因為 $Treap$ 是一個堆，而 $Split$ 的過程保證了 $Merge$ 的順序，所以合併的時候比較一下鍵值大小即可。

int Merge(int u, int v) {
    if(!u || !v) return u | v;
    if(key[u] < key[v]) return rs[u] = Merge(rs[u], v), Up(u), u;
    return ls[v] = Merge(u, ls[v]), Up(v), v;
}

剩下的

插入的時候劈成兩棵樹合併即可。

void Ins(int x) {
    int a = 0, b = 0; Get(x);
    Split(rt, a, b, x);
    a = Merge(a, nw);
    rt = Merge(a, b);
}

刪除的時候劈成三棵樹刪除即可。

void Del(int x) {
    int a = 0, b = 0, c = 0;
    Split(rt, a, b, x);
    Split(a, a, c, x - 1);
    st[++tp] = c; 
    c = Merge(ls[c], rs[c]);
    a = Merge(a, c);
    rt = Merge(a, b);
}

查詢第 $k$ 大就是在平衡樹上二分。

int Kth(int p, int k) {
    for(;p;) {
    	if(sz[ls[p]] + 1 == k) return val[p];
    	sz[ls[p]] < k ? k -= sz[ls[p]] + 1, p = rs[p] : p = ls[p];
    }
}

查詢排名，前驅和後繼就是劈開之後找第 $1$ 大或者第 $n$ 大

void Rk(int x)  {
    int a = 0, b = 0;
    Split(rt, a, b, x - 1);
    printf("%d\n", sz[a] + 1);
    rt = Merge(a, b);
}
void Pre(int x) {
    int a = 0, b = 0;
    Split(rt, a, b, x - 1);
    printf("%d\n", Kth(a, sz[a]));
    rt = Merge(a, b);
}
void Nxt(int x) {
    int a = 0, b = 0;
    Split(rt, a, b, x);
    printf("%d\n", Kth(b, 1));
    rt = Merge(a, b);
}

都是平衡樹的正常操作，非旋轉 $Treap$ 直觀容易理解，掌握了 $Merge$ 和 $Split$ 之後可以快速提取出需要的樹，然後就是按照題意模擬即可。

總程式碼

來自luogu3369

#include<bits/stdc++.h>
const int N = 1e5 + 10;
int ri() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1; for(;c < '0' || c > '9'; c = getchar()) if(c == '-') f = -1;
    for(;c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) - '0' + c; return x * f;
}
int sz[N], ls[N], rs[N], val[N], key[N], st[N], tp, tot, rt = 1, nw, se = 233;
int Rand() {return se = 1LL * se * 998244353 & 0x7fffffff;}
void Get(int k) {
    nw = tp ? st[tp--] : ++tot;
    sz[nw] = 1; val[nw] = k; key[nw] = Rand();
    ls[nw] = rs[nw] = 0;
}
void Up(int u) {sz[u] = sz[ls[u]] + sz[rs[u]] + 1;}
void Split(int u, int &a, int &b, int x) {
    if(!u) return void(a = b = 0);
    if(val[u] <= x)
        a = u, Split(rs[u], rs[a], b, x);
    else 
        b = u, Split(ls[u], a, ls[b], x);
    Up(u);
}
int Merge(int u, int v) {
    if(!u || !v) return u | v;
    if(key[u] < key[v]) return rs[u] = Merge(rs[u], v), Up(u), u;
    return ls[v] = Merge(u, ls[v]), Up(v), v;
}
int Kth(int p, int k) {
    for(;p;) {
    	if(sz[ls[p]] + 1 == k) return val[p];
    	sz[ls[p]] < k ? k -= sz[ls[p]] + 1, p = rs[p] : p = ls[p];
    }
}
void Rk(int x)  {
    int a = 0, b = 0;
    Split(rt, a, b, x - 1);
    printf("%d\n", sz[a] + 1);
    rt = Merge(a, b);
}
void Pre(int x) {
    int a = 0, b = 0;
    Split(rt, a, b, x 
              
           
              
              
            
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