參考書籍：演算法設計與分析——C++語言描述（第二版）

演算法設計策略-分治法

二分搜尋

問題描述

在有序表（已按關鍵字值非減排序）中搜索給定元素的問題。

分治法求解

設有一個長度為n的有序表(a0,a1,⋯,an−1)，要求在表中搜索與給定元素x有相同關鍵字值的元素。若n=0，則顯然搜尋失敗；若n>0，則可將有序表分解成若干個子表。最簡單的做法是分成兩個子表。假定以元素am為劃分點，將原表分成(a0,a1,⋯,am−1)和(am+1,am+2,⋯,an−1)兩個子表。那麼將元素am與給定元素x進行比較，比較結果有三種可能：x<am、x=am和x>

am。對於這三種情況，有：

當x<am時，若與x相同關鍵字值的元素在表中，則必定在子表(a0,a1,⋯,am−1)中，可以在該子表中繼續進行搜尋；
當x=am時，搜尋成功；
當x>am時，若與x相同關鍵字值的元素在表中，則必定在子表(am+1,am+2,⋯,an−1)中，可以在該子表中繼續進行搜尋。

根據以上分析，可以得到分治法搜尋有序表的演算法——二分搜尋

//二分搜尋演算法框架
//後置條件: 在範圍為[left,right]的表中搜索與x有相同關鍵字值的元素；如果存在該元素，則函式返回該元素在表中的位置，否則函式返回－1，表示搜尋失敗。
template <class 
 T>
  int SortableList<T>::BSearch(const T& x, int left, int right)const
  {
    if(left <= right){
      //按照某種規則求分割點m
      int m = Divide(left, right);
      //使用不同的規則求分割點m，則可得到不同的二分搜尋方法，如：對半搜尋、斐波那契搜尋等。
      if(x<l[m])
        return BSearch(x,left,m-1);
      else if(x>l[m])
        return 
 Bsearch(x,m+1,right);
      else 
        //搜尋成功
        return m;
    }
    //搜尋失敗
    return -1;
  }

對半搜尋

對半搜尋是一種二分搜尋，它的分割點設為m=(left+right)/2。

//對半搜尋遞迴演算法
template<class T>
  int SortableList<T>:BSearch(const T& x, int left, int right)const
  {
    //若表（子表）非空
    if(left <= right){
      //對半分割
      int m = (left+right)/2;
      if(x<l[m])
        //搜尋左半子表
        return BSearch(x,left,m-1);
      else if(x>l[m])
        //搜尋右半子表
        return BSearch(x,m+1,right);
      else 
        //搜尋成功
        return m;
    }
    else 
      //搜尋失敗
      return -1;
  }

對半搜尋的正確性用歸納法可以證明。

//對半搜尋的迭代演算法
template<class T>
  int SortableList<T>::BSearch(T& x)const
  {
    int m, left = 0, right = n-1;
    while(left<=right){
      m=(left+right)/2;
      if(x<l[m])
        right = m-1;
      else if(x>l[m])
        left = m+1;
      else
        //搜尋成功
        return m;
    }
    //搜尋失敗
    return -1;
  }

C語言實驗如下：

#include <stdio.h>
//對半搜尋遞迴演算法
int BSearch1(int l[], int x, int left, int right)
{
  //若表（子表）非空
  if(left<=right){
      //對半分割
      int m = (left+right)/2;
      if(x<l[m])
        return BSearch1(l, x, left, m);
      else if(x>l[m])
        return BSearch1(l, x, m+1, right);
      else
        return m;
    }
  else
    return -1;
}

//對半搜尋的迭代演算法
int BSearch2(int l[], int x, int n)
{
  int m, left = 0, right = n-1;
  while(left<=right){
      m = (left+right)/2;
      if(x<l[m]){
          right = m-1;
        }
      else if(x>l[m]){
          left = m+1;
        }
      else
        return m;
    }
  return -1;
}

int main()
{
  int l[5] = {1,2,3,4,5};
  printf("number 5's position is %d\n", BSearch1(l, 5, 0, 4));
  printf("number 3's position is %d\n", BSearch2(l, 3, 5));
  return 0;
}

實驗結果：

number 5's position is 4
number 3's position is 2

二叉判定樹

二分搜尋過程的演算法行為可以用一顆二叉樹來描述，通常稱這顆描述搜尋演算法執行過程的二叉樹為二叉判定樹（binary decision tree）.

一個以關鍵字值為基礎的搜尋演算法的二叉判定樹模型的建立過程：

指定元素x與表中元素l[m]之間的一次比較操作，表現為二叉判定樹中的一個內結點（internal node），用一個圓形結點表示，並用m標識。如果x=l[m]，則演算法在該結點處成功終止。
二叉判定樹的根節點，代表演算法中首次與x比較的元素l[m]，用m標識。
當x<l[m]時，演算法隨後與x比較的元素下標所標識的結點是結點m的左孩子；當x>l[m]時，演算法隨後與x比較的元素下標所標識的結點是結點m的右孩子。
若x<l[m]且演算法終止，那麼結點m的左孩子以標號為m-1的方形結點表示；若x>l[m]且演算法終止，那麼結點m的右孩子以標號m的方形結點表示。方形結點稱為外結點（external node）。如果演算法在方形結點m處終止，這意味著搜尋失敗。
從根節點到每一個內結點的一條路徑代表成功搜尋的一條比較路徑。如果搜尋成功則演算法在內結點處終止，否則在外結點處終止。

二叉判定樹性質：

只有n(n>0)個內結點的對半搜尋二叉判定樹的左子樹上有⌊(n−1)/2⌋個內結點，右子樹上有⌊n/2⌋個內結點。
具有n(n>0)個內結點的對半搜尋二叉判定樹的高度為⌊logn⌋+1（不計外結點）。
若n=2h−1，則對半搜尋二叉判定樹為滿二叉樹。
若n=2h−2，則對半搜尋二叉判定樹的外結點均在h+1層，否則，在第h或者h+1層上，h=⌊logn⌋+1。
對半搜尋演算法成功情況下，關鍵字之間的比較次數不超過⌊logn⌋+1。失敗的情況下，演算法需要進行⌊logn⌋或⌊logn⌋+1次比較。
對半搜尋演算法在搜尋成功時的平均時間複雜度為Θ(logn)。

搜尋演算法的時間下界

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