函式距離和幾何距離

設特徵和類標籤分別為x,y∈{−1,1}，定義分類器hw,b(x)=g(wTx+b)，g(z)={1−1z≥0z<0

函式距離

給定訓練樣本(x(i),y(i))，則函式距離r^(i)=y(i)(wTx(i)+b)
如果y(i)=1，我們希望wTx(i)+b是一個比較大的正數。同樣的，如果y(i)=−1，我們希望wTx(i)+b是一個比較小的負數。這樣我們的預測才能正確且有較高的置信度。如果y(i)(wTx(i)+b)>0，則樣本分類正確，所以較大的函式距離能代表一個正確且置信度較高的分類預測
值得注意的是將(w,b)換成(2w,2b)不影響預測結果，但是函式距離就增大了一倍，這是毫無意義的，所以限制|

|w||2=1
給定集合S={(x(i),y(i));i=1,…,m}，定義S的函式距離為r^=mini=1,…,mr^(i)

幾何距離

圖 1
超平面直線方程為(wTx+b)=0，則點到直線的距離r(i)=|(wTx(i)+b)|||w||2，A點也可以表示為r(i)=y(i)(wTx(i)+b)||w||2。w,b放大相同的倍數，幾何距離是不變的。特別地，當||w||2=1時，函式距離和幾何距離是相等的。
給定集合S={(x(i),y(i));i=1,…,m}，定義S的幾何距離為r=mini=1,…,mr(i)

最優分離超平面

從上面的討論可以看出，給定一個線性可分

的訓練集，我們希望得到的一個使得幾何距離最大的分類器。
用數學描述就是：

maxr,w,br
s.t.y(i)(

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