P5136 sequence(矩陣快速冪)
阿新 • • 發佈:2019-01-04
數列的特徵方程和特徵根老師上課好像講過然而我沒聽……以後老師上數學課要認真聽了QAQ
設\(x=\frac{1+\sqrt{5}}{2},y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\),那麼\(x,y\)是\(t^2=t+1\)的兩個解,也就是數列\(F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\)的特徵根
關於特徵根是個什麼神仙……可以這樣理解,假設數列有\(F_n=c_1F_{n-1}+c_2F_{n-2}\),則方程的特徵根\(x_1,x_2\)為\(x^2=c_1x+c_2\)的兩個解,那麼原數列的通項公式為\(F_n=Ax_1^n+Bx_2^n\)
於是在這裡我們令\(A=B=1\)
當\(n\)為奇數的時候,有\(-1<y^n<0\),則\(\lceil x^n\rceil=F_n+1\)
當\(n\)為偶數的時候,有\(0<y^n<1\),則\(\lceil x^n\rceil=F_n\)
//minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v) using namespace std; char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf; inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;} int read(){ R int res,f=1;R char ch; while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1); for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0'); return res*f; } char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0; inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;} void print(R int x){ if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x; while(z[++Z]=x%10+48,x/=10); while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n'; } const int P=998244353; inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;} inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;} struct Matrix{ int a[2][2]; Matrix(){a[0][0]=a[0][1]=a[1][0]=a[1][1]=0;} inline int* operator [](const int &x){return a[x];} Matrix operator *(Matrix b){ Matrix res; res[0][0]=add(mul(a[0][0],b[0][0]),mul(a[0][1],b[1][0])); res[0][1]=add(mul(a[0][0],b[0][1]),mul(a[0][1],b[1][1])); res[1][0]=add(mul(a[1][0],b[0][0]),mul(a[1][1],b[1][0])); res[1][1]=add(mul(a[1][0],b[0][1]),mul(a[1][1],b[1][1])); return res; } }A,B; ll n; Matrix ksm(Matrix x,ll y){ Matrix res;res[0][0]=res[1][1]=1; for(;y;y>>=1,x=x*x)if(y&1)res=res*x; return res; } int main(){ // freopen("testdata.in","r",stdin); A[0][0]=A[0][1]=A[1][0]=1; int T=read(); while(T--){ n=read(),B[0][0]=3,B[0][1]=1; if(n<=2){print(n&1?2:3);continue;} B=B*ksm(A,n-2); print(B[0][0]+(n&1)); }return Ot(),0; }