前言

感謝中國農大 趙明老師的分享~

現在我要為我自己走向遊戲程式設計打下基石~

1 計算機圖形學概論

1.1 計算機圖形學課程簡介

《計算機圖形學》是計算機、地理資訊系統、應用數學、機械、建築等專業本科教學中的一門重要的專業基礎課

如影象處理、模式識別、多媒體技術、計算機視覺等的基礎

在CAD/CAM、計算機動畫、系統環境模擬、地理資訊系統、計算機藝術、真實感圖形顯示、科學計算的視覺化、3D列印的等領域都有重要的應用

該門課程使學生了解計算機圖形學的發展、掌握圖形學的基本原理、演算法和實現技術。學會基本的圖形軟體開發技術，為進一步學習後續課程打下良好的基礎。

參考書籍：

1. 《計算機圖形學基礎課程》 孫家廣、胡事民，清華出版社
2. 《計算機圖形學（OpenGL版）（第3版）》胡事民，劉永進等 清華大學出版社
3. 《計算機圖形學基礎》 陸楓、何雲峰 電子出版社
4. 《計算機輔助設計與圖形學學報》
5. 《中國影象圖形學報》

1.2 計算機圖形學概述

計算機圖形學定義

簡單來說，計算機圖形是計算機產生的影象。

定義：計算機圖形學就是研究如何在計算機中表示圖形、以及利用計算機進行圖形的計算、處理和顯示的相關原理與演算法

計算機圖形學研究內容

如何在計算機中表示圖形、以及利用計算機進行圖形的計算、處理和顯示的相關原理與演算法，構成了計算機圖形學的主要研究內容。

圖形硬體：研究圖形要有基本的支撐硬體，包括圖形加速卡、顯示器、圖形輸出裝置等等。

一般來說，要在計算機上生成一副表示物體的圖形，有三個步驟

1. 造型技術
   在計算機中建立索要生成影象的物體的模型，即給出表示該物體的集合資料和拓撲關係。

2. 光照模型
   自然光照現象是由一些物理學定律所決定的，而這些物理學定律又非常複雜
   所以，希望用一些簡單的數學模型來近似、代替那些物理學的模型，為模擬物體表面的光照物理現象的數學模型叫光照模型

3. 繪製（渲染）技術
   第三步是選擇適當的繪製演算法來把這個場景畫（渲染）出來。就是將模型真實性顯示在螢幕上。
   渲染一幅三維物體影象所涉及的知識、實際上就是計算機圖形中每個畫素看上去應該是什麼顏色的問題。這很大程度上取決於不同的光照模型。
   計算機螢幕是由畫素構成的，畫素作為構成圖形的基本單位。為了在螢幕上顯示一幅圖形，就必須研究在哪些畫素上生成圖形

   ，就必須有一套針對光柵顯示器生成圖形的演算法。

計算機圖形學發展歷史

要了解一門學科的發展，最好的就是了解它的發展歷史
（百度去吧少年們）

計算機圖形學的應用領域

1. 人機互動和圖形使用者介面
2. 計算機輔助設計與製造（CAD/CAM）
3. 真實感圖形繪製與自然景物方針
4. 計算機遊戲、電影、動漫
5. 計算機藝術
6. 計算機方針
7. 科學計算視覺化
8. 虛擬現實
9. 地理資訊系統（GIS）
10. 農業領域的應用

計算機圖形處理系統組成

2 光柵圖形學演算法

隨著光柵顯示器的出現，為了在計算機上處理、顯示圖形，需要發展一套與之相適應的演算法：光柵圖形學演算法。

光柵圖形演算法多數屬於計算機圖形的底層演算法，很多圖形學的基本概念和思想都在這一章。

光柵圖形學演算法的研究內容

• 直線段的掃描轉換演算法
• 多邊形的掃描轉換與區域填充演算法
• 裁剪演算法
• 反走樣演算法
• 消隱演算法

2.1 直線段的掃描轉換演算法—DDA

在數學上，直線上的點有無窮多個。但當在計算機光柵顯示器螢幕上表示這條直線時需要做一些處理（因為光柵顯示器是由一個個畫素點構成的，而畫素又是有限的）

為了在光柵顯示器上用有限的點逼近無限的點構成的直線，需要知道這些畫素點的x,y座標

DDA畫線演算法 1

如何把數學上的一個點掃描轉換成一個頻幕畫素點？（因為畫素點都是整數，所以我要對點進行取整處理，x和y都要是整數）

y=kx+b

直線是最基本的圖形，一個動畫或真實感圖形往往需要呼叫成千上萬次畫執行緒序，因此直線演算法的好壞與效率將直接影響圖形的質量和顯示速度。

回顧一下剛才的演算法：

y=kx+b（直線斜截式方程）

這個演算法，有乘法運算和加法運算，還有後期的取整運算。

為了提高效率，把計算量減下來，關鍵問題就是如何把乘法取消？（因為計算機中加減乘除，加法的運算效率最快）

DDA畫線演算法 2

為了提高效率，把乘法取消。我們需要學習三個著名的常用演算法。

直線繪製的三個著名的常用演算法

1. 數值微分法（DDA）
2. 中點畫線法
3. Bresenham演算法

一、數值微分法DDA

引進圖形學中一個很重要的思想—增量思想。

注：之所以能寫成是因為數學上的點要轉換成畫素點，因此x和y都是整數，而畫素最小的單位為1，直線肯定的點與點之間肯定不會隔多遠，因此預設相隔一個畫素

這樣也就是說

例子：

【思考題】
DDA畫直線演算法：x每遞增1，y遞增斜率k。是否適合任意斜率的直線？

（1） | k | <= 1 時，

（2） | k | > 1 時，

如果K>1，會導致光柵點太稀了！

除開起點和終點，中間只有1個點，而1個點完全無法表達直線的趨勢。

那麼如何解決K>1時的直線掃描演算法呢？

2.2 直線段的掃描轉換演算法—中點畫線

採用增量思想的DDA演算法，直觀、易實現，每計算一個畫素座標，只需計算一個加法。

這個演算法是否最優呢？若非最優，如何改進？

（我們在2.1中已經知道DDA不適合於斜率k>1的情況）

（1）改進效率
這個演算法每步只做一個加法，能否再提高效率呢？

計算機執行最快的就是加法。

但是加法分為整數加法和浮點加法。

一般情況下k與k都是小數，而且每一步運算都要對y進行四捨五入後取整。

唯一改進的途徑就是把浮點運算變成整數加法。

（2）改善直線方程型別
這樣就引出了中點畫線演算法~~~

中點畫線演算法 1

直線的一般式方程：

這個方程把螢幕分成3部分

思想：每次在最大位移方向（最大位移發現就是+1，到達螢幕的另一部分）上走一步，而另一個方向是走還是不走要取決於中點誤差項的判斷（兩個方向就x和y）。

假定：0<=| k |<=1。因此，每次在x方向上加1，y方向上加1或不變需要判斷。

如何判斷Q在M的上方還是下方呢？

把M的座標代入理想直線方程：

假如M的座標為d(i)

下面來分析一箇中點畫線演算法的計算量

雖然中點畫線演算法解決了斜率大於1時，DDA演算法不精確的問題。

但明顯的是這個計算量就比DDA大多了（DDA是1個乘法1個加法）

那麼能否也採用增量計算，提高計算效率呢？

中點畫線演算法 2

如何推匯出d值得遞推公式？
（1）d<0 的情況下

（2）d>0 的情況下

下面計算d的初始值d[0]

完整的中點畫線演算法

【小結】

1. 中點畫線演算法採用直線一般式方程，而DDA採用斜截式方程
2. 通過判斷中點額符號，最終可以只進行整數加法

這個演算法是否還有改進的餘地？

2.3 直線段的掃描轉換演算法—Bresenham演算法

中點畫線法

這個演算法是否還有改進的餘地？

從計算機的運算效率來說。中點畫線只做一個整數加法，而整數加法已經是最快的了。

那麼只能從直線的方程入手。

能否提出一個演算法，使這個演算法不但能解決畫直線，還能解決圓弧、拋物線甚至自由曲線的光柵化問題，使演算法的覆蓋域擴大。

這就引出了Bresenham演算法。

Bresenham演算法 1

DDA把演算法效率提高到每步只做一個加法。（加法中間有乘法運算）

中點演算法進一步把效率提高到每步只做一個整數加法。

Bresenham演算法提供了一個更一般的演算法。該演算法不僅有好的效率，而且有更廣泛的適用範圍。

Bresenham演算法的基本思想

該演算法的思想是通過各行、各列畫素中心構造一組虛擬網路線，按照直線起點到終點的順序，計算直線與各垂直網格線的交點，然後根據誤差項的符號確定該列畫素中與此交點最近的畫素。

Bresenham演算法 2

（1）改進e

（2）改進 e初 和 k

演算法步驟為：

Bresenham演算法很像DDA演算法，都是加斜率。

但DDA演算法使判斷符號來決定上下兩個點。所以該演算法集中DDA和終點兩個演算法的優點，而且應用範圍廣泛。

【小結】

1. 電腦科學問題的核心就是演算法
2. 領會演算法中所蘊含的創新思想
3. 科學研究無止境，學術面前人人平等