瞭解LDA需要明白如下數學原理：

一個函式：gamma函式

四個分佈：二項分佈、多項分佈、beta分佈、Dirichlet分佈

一個概念和一個理念：共軛先驗和貝葉斯框架

兩個模型：pLSA、LDA（文件-主題，主題-詞語）

一個取樣：Gibbs取樣

估計未知引數所採用的不同思想：頻率學派、貝葉斯學派

gamma函式

Gamma函式

Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt
通過分部積分的方法，可以推匯出這個函式有如下的遞迴性質
Γ(x+1)=xΓ(x)
於是很容易證明，Γ(x) 函式可以當成是階乘在實數集上的延拓，具有如下性質
Γ(n)=(n−1)!gamma函式是如何找到的:

1728年，哥德巴赫在考慮數列插值的問題，通俗的說就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合，例如數列 1

,4,9,16,⋯ 可以用通項公式 n2 自然的表達，即便 n 為實數的時候，這個通項公式也是良好定義的。直觀的說也就是可以找到一條平滑的曲線y=x2通過所有的整數點(n,n2)，從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,⋯,我們可以計算2!,3!, 是否可以計算 2.5!呢？我們把最初的一些(n,n!)的點畫在座標軸上，確實可以看到，容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。

但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題，於是寫信請教尼古拉斯.貝努利和他的弟弟丹尼爾.貝努利，由於尤拉當時和丹尼爾.貝努利在一塊，他也因此得知了這個問題。而尤拉於1729 年完美的解決了這個問題，由此導致了Γ

函式的誕生。
事實上首先解決n!的插值計算問題的是丹尼爾.貝努利，他發現，如果m,n都是正整數，如果m→∞，有

1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m−1+n)(m+n2)n−1→n!
於是用這個無窮乘積的方式可以把n!的定義延拓到實數集合。例如，取n=2.5,m 足夠大，基於上式就可以近似計算出 2.5!。

尤拉也偶然的發現 n! 可以用如下的一個無窮乘積表達

[(21)n1n+1][(32)n2n+2][(43)n3n+3]⋯=n!(∗)(1)

用極限形式，這個式子整理後可以寫為

limm→∞1⋅2⋅3⋯m(1+n)(2+n)⋯(m+n)(m+1)n=n!(∗∗)(2)
左邊可以整理為
===1⋅2⋅3

⋯m(1+n)(2+n)⋯(m+n)(m+1)n1⋅2⋅3⋯n⋅(n+1)(n+2)⋯m(1+n)(2+n)⋯m⋅(m+1)n(m+1)(m+2)⋯(m+n)n!(m+1)n(m+1)(m+2)⋯(m+n)n!∏k=1nm+1m+k→n!(m→∞)
所以 (*)、(**)式都成立。

尤拉開始嘗試從一些簡單的例子開始做一些計算，看看是否有規律可循，尤拉極其擅長數學的觀察與歸納。當 n=1/2 的時候，帶入(*)式計算，整理後可以得到

(12

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