【模式識別】Fisher線性判別

Fisher是一種將高維空間對映到低維空間降維後進行分類的方法

1.投影:

對xn→的分量作線性組合可得標量

yn=w⃗ Txn→

什麼樣的對映方法是好的，我們需要設計一個定量的標準去找w⃗ 來衡量分類的好壞，或者叫做準則函式。

2.基本參量

在d維X空間
- 各類樣本均值向量m⃗ i
  
  mi→=1Ni∑x⃗ ∈Xix⃗ ,i=1,2
- 樣本類內離散度矩陣Si和總類內離散度矩陣Sw
  
  Si=∑x∈Xi(x⃗ −mi→)(x⃗ −mi→)T,i=1,2
- 樣本類間離散度矩陣Sb
  
  Sb=(m1→−m2→)(m1→−m2→)T
在一維空間
- 各類樣本均值mi¯¯¯¯
  
  mi¯¯
  
  ¯¯=1Ni∑y∈Yiy,i=1,2
- 樣本類內離散度S2i¯¯¯¯和總類內離散度Sw¯¯¯¯¯
  
  S2i¯¯¯¯=∑y∈Yi(y−mi¯¯¯¯)2,i=1,2Sw¯¯¯¯¯=S1¯¯¯¯+S2¯¯¯¯

3.衡量標準:

1.我們希望兩類均值之差儘量大

2.同時希望各類樣本內部儘量密集

有了這個標準後我們可以得到準則函式:

JF(w⃗ )=m1¯¯¯¯−m2¯¯¯¯S21¯¯¯¯+S22¯¯¯¯
4.解:

經過一系列推導之後得到

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