ACM 【程式=演演算法+資料結構】@蠟筆小軒V
偶然看到的題目，居然可以用卡特蘭數解。
12個人排兩排，每排都按身高由小到大排，要求第二排相應位置上每個人的身高都比第一排上的人要高，問有多少種排法？
卡特蘭數的一個模型就是括號匹配。先給括號標號（序號對應身高），我們把左括號當作第一排的人，右括號當作第二排的人。
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
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( |
( |
) |
( |
) |
) |
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第一排 |
1 |
2 |
4 |
||
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第二排 |
3 |
5 |
6 |
有結論：
- 左/右括號的序號遞增（滿足兩排都有序）
- 第n個右括號之前必定至少有n左括號（排在第二排某個位置，對應第一排的肯定比其小）
我們可以得出括號匹配可以對應到身高排列。還要證反過來也成立。
先明確這裡身高對應排列序號，合法的括號匹配就是左右括號數量一致（這裡顯然），並且前面的“第n個右括號之前必定至少有n左括號”。
對於每一個滿足要求的身高排列，
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a1 |
< |
a2 |
< |
a3 |
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ʌ |
ʌ |
ʌ |
||
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b1 |
< |
<>b2 |
< |
b3 |
對b1，我們知道身高小於b1的a至少有a1
對於b2，我們知道身高小於b2的a至少有a1，a2
。。。。
我們讓a對應（，b對應），而括號的位置序號對應身高序號。
所以可以證明按身高排序的ai 和bi序列，替換成括號後是合法匹配。
小結一下Catalan數
令h(
0
)
=
1
,h(
1
)＝
1
,catalan數滿足遞迴式：
h(n)
=
h(
0
)
*
h(n
-
1
)
+
h(
1
)
*
h(n
-
2
)
+
...
+
h(n
-
1
)h(
0
) (其中n
>=
2
)
該遞推關係的解為：
h(n)
=
C(2n,n)
/
(n
+
1
) (n
=
1
,
2
,
3
, ...)
得到式子：
- h(n)
=
h(
0
)
*
h(n- 1 ) + h( 1 ) * h(n - 2 ) + ... + h(n - 1 )h( 0 ) (其中n >= 2 )
- h(n) = C(2n,n) / (n + 1 ) = C(2n,n)-C(2n, n+1) (n = 1 , 2 , 3 ,...)
式子1對應的模型：
- 在圓上選擇2n個點,將這些點成對連線起來，使得所得到的n條線段不相交的方法數。
- 將一個凸n+2邊形區域分成三角形區域的方法數 。
- 給定N個節點，能構成多少種形狀不同的二叉樹？(一定是二叉樹 ! 先取一個點作為頂點,然後左邊依次可以取0至N - 1個相對應的,右邊是N - 1到0個,兩兩配對相乘 ）
- 矩陣鏈乘： P = a1×a2×a3×……×an，依據乘法結合律，不改變其順序，只用括號表示成對的 乘積，試問有幾種括號化的方案？切割成左右兩塊（a1 x a2 ... x ak)( ak+1 x ... x an)因為只有n-1個分割點，所以為 h(n-1)
式子2對應的模型：
先求一道題：n個元素的出棧，入棧合法方案數。
令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n 位、含n 個1、n 個0的二進位制數，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n 個1、n 個0的2n 位二進位制數共有C(2n,n) 個，下面考慮不滿足要求的數目.
考慮一個含n 個1、n 個0的2n位二進位制數，掃描到第2m+1 位上時有m+1 個0和m 個1（容易證明一定存在這樣的情況），則後面的0-1排列中必有n-m 個1和n-m-1 個0。將2m+2 及其以後的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1 個0和n-1 個1的二進位制數。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。
從而 C(2n,n) / (n + 1 )= C(2n,n)-C(2n, n+1) 。證畢。
以這道題為基礎，有
- n對括號的匹配問題
- n個元素的出棧，入棧合法方案數。
- 有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)
- 一位大城市的律師在她住所以北n個街區和以東n個街區處工作。每天她走2n個街區去上班。如果她從不穿越（但可以碰到）從家到辦公室的對角線，那麼有多少條可能的道路？ （因為有對角線的存在，向上走的次數如果大於向右的次數，會越過對角線）
well蛋！
參考了下： http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/07/122573.html