時間序列分析

給定一個已被觀測了的時間序列，預測該序列的的未來值。

重點介紹AR模型、MA模型、ARMA模型和ARIMA模型

1、時間序列的預處理

拿到一個觀察值序列後，首先要對它的純隨機性和平穩性進行檢驗，稱之為預處理。在此區別純隨機序列、平穩非白噪聲序列、非平穩序列。

純隨機序列(白噪聲序列)，序列的各項之間沒有任何相關關係，序列有著完全無序的隨機波動，可以終止對該序列的分析。白噪聲序列是沒有資訊可提取的平穩序列。

平穩非白噪聲序列，他的均值和方差是常數，現在普遍採用ARMA模型進行處理，提取該序列的有用資訊

非平穩序列，由於均值和方差不穩定，處理方法一般將其轉換成平穩序列，以平穩序列的分析方法進行研究。如果一個時間序列經差分運算後具有平穩性，則該序列為差分平穩序列，可用ARIMA模型分析

1)  平穩性檢驗：

貼了一部分定義，只用明白什麼是自相關係數（表示資料和資料間的關係），什麼樣是平穩性（訊號的均值或說期望是常數）。

a)平穩時間序列的定義

       

b) 平穩性的檢驗

兩種檢驗方法。一種是根據時序圖和自相關圖的特徵作出判斷的圖檢驗，操作簡單、應用廣泛，但帶有主觀性；另一種是構造檢驗統計量進行檢驗，目前常用的方法是單位根檢驗

I 時序圖檢驗。根據平穩時間序列的均值和方差都為常數的性質，平穩序列的時序圖顯示該序列值式中在一個常數附近波動，並且波動的範圍有界。倘若有明顯的趨勢性或週期性，那他通常不是平穩序列。

II 自相關圖檢驗。平穩序列具有短期相關，說明對平穩序列而言通常近期的序列值對

現有值影響較大，間隔越遠的過去值對現有值影響較小。隨著延遲期數k的增加，平穩序列的自相關係數ρ_k(延遲k期)會比較快的衰減趨向於0，在0處波動，而非平穩序列則衰減速度較慢，這就是利用自相關圖進行平穩性檢驗的標準。

III 單位根檢驗。單位根檢驗是指檢驗序列中是否存在單位根，如果存在單位根就是非平穩時間序列了。涉及到“單位根檢驗p值”。

2)  純隨機性檢驗：白噪聲檢測，構造驗證統計量來檢驗序列的純隨機性，常用的驗證統計量有Q統計量、LB統計量，一般很少出現純隨機狀態（即序列值之間沒有任何關係）。涉及統計量 “白噪聲檢驗p值”

2、平穩時間序列分析

對於擬合平穩序列最常用的模型就是ARMA模型，又可以AR模型、MA模型和ARMA三大類。

1) AR模型

                                     

在t時刻的值由前p期的多元線性迴歸，認為x主要是受過去p期的序列值的影響。誤差為當前的隨機干擾ε，為零均值白噪聲序列。

a.均值——求期望

                                     

已知，所以可得

b.方差——有界等於常數

c.自相關係數(ACF)

                                                 

平穩AR(p)模型的自相關係數呈指數的速度衰減，始終有非零取值，不會再k大於某個常數之後就恆等於0，具有拖尾性。

d.偏自相關係數(PACF)

單純地表明測度對的影響，即平穩AR(p)模型的偏自相關係數具有p階截尾性。

2)  MA模型

                                                  

在t時刻的隨機變數的取值是由前q期的隨機擾動的多元線性函式，誤差為當前的隨機干擾ε，為零均值白噪聲序列，μ是序列的均值。認為x主要受過去q期誤差項的影響。

                          

3) ARMA模型

自迴歸移動平均模型，簡記為ARMA(p,q)

  

即在t時刻的隨機變數的取值是由前p期和前q期的隨機擾動的多元線性函式。誤差為當前的隨機干擾ε，為零均值白噪聲序列。認為x主要受過去p期的序列值和過去q期誤差項的共同影響。特別，q=0 AR模型；p=0 MA模型

                           

4) 平穩時間序列建模

某個時間序列經過預處理，被判定為平穩非白噪聲序列，就可以利用ARMA模型進行建模。計算出平穩非白噪聲序列的自相關係數和偏自相關係數，再由AR(p)模型、MA(p)、ARMA(p)的自相關係數和偏自相關係數的性質，選擇合適的模型。

                                                              

3. 非平穩時間序列分析

絕大多數序列都是非平穩序列，更多采用隨機時序分析，具體建立的模型由ARIMA模型、殘差自迴歸模型、季節模型等。重點採用ARIMA模型對非平穩時間序列進行分析建模。

1） 差分運算

p階差分：相距一期的兩個序列值之間的減法運算稱為1階差分。

k步差分：相距k期的兩個序列值之間的減法運算稱為k步差分

2） ARIMA模型

本質是差分運算和ARMA模型結合。

                                                             

根據這個步驟可總結如下：

I 平穩性檢測。畫個序列變化圖，看他變化是不是穩定，均值要保持穩定；然後再看他的自相關圖，如果自相關係數長期不等於0，說明序列具有很強的長期相關性，序列要有很強的短期相關性；但是我推薦使用平方根檢驗方法，判斷（平方根檢驗統計量對應的）p值是否大於0.05，此處可判斷序列是否為非平穩序列。（非平穩序列一定不是白噪聲序列）

II 如果不是非平穩序列，那做個一階差分試試，再根據第I步進行平穩性驗證，不滿足就再差分一次試試，直至得到穩定序列

III 針對第II步得到的平穩序列，我們做白噪聲檢驗，（白噪聲檢驗統計量對應的）p值遠小於0.05，說明得到但是平穩非白噪聲序列。

IV 針對平穩非白噪聲序列，仿照ARMA模型進行分析。確定p、q

1.  人的主觀識別，根據截尾、拖尾確定p、q，我可做不到這點

2.  相對最優模型識別。計算ARMA(p,q)，當p和q均小於等於3的所有組合的BIC資訊量，取其中BIC資訊量達到最小的模型階數。BIC矩陣中最小值的索引(a,b),p=a,q=b，如最小BIC值的索引為(0,1)，表示p=0,q=1.即p，q定階完成。

綜上n階差分後確定的模型為ARIMA(p,n,q)，此處為ARIMA(0,1,1)。

需要指出模型不一定是唯一的，ARIMA(1,1,0)和ARIMA(1,1,1)也可以通過檢驗。

V 針對建立好的ARIMA模型檢驗殘差(保證為白噪聲序列，認為是無偏的)，再估計待求係數引數，最後進行模型預測。

                              

利用模型向前預測的時期越長，預測誤差將會越大，這是時間序列分析的典型特點。

                                   

4. Python主要時序演算法函式

主要呼叫庫Statsmodel，演算法主要是ARIMA模型，在使用該模型進行建模時，需要進行一系列判斷操作，主要包含平穩性檢驗、白噪聲檢測、是否差分、AIC和BIC指標值、模型定階，最終做預測。相關函式如下

                             

需要指出

summary()和summary2()函式生成已有模型的報告, 使用格式：

arima.summary(),其中arima為已經建立好的ARIMA模型，返回一份格式化的模型 報告，包含模型的係數、表胡宗南誤差、p值、AIC和BIC等詳細指標。

Adffuller()是對觀測值序列進行單位根檢驗(ADF test)，使用格式：

h=adffuller(Series,maxlag=None,regression=’c’,autolag=’AIC’,store=False,regresults=False)輸入引數Series為一維觀測值序列、返回值依次為adf、pvalue、usedlag、nobs、criticalvalues、icbest、regresults、resstore。

其他函式的具體用法可百度。