特徵矩的知識在概率論和數理統計中有介紹，空間矩的方法在影象應用中比較廣泛，包括零階矩求面積、一階矩確定重心、二階矩確定主方向、二階矩和三階矩可以推匯出七個不變矩Hu不變矩，不變矩具有旋轉，平移、縮放等不變性，因此在工業應用和模式識別中得到廣泛的應用。

目標物體灰度函式特徵矩的公式定義如下：

如果是二值影象，那麼f(x,y)就變成

在OpenCV中，可以很方便的計算多邊形區域的3階特徵矩，opencv中的矩主要包括以下幾種：空間矩，中心矩和中心歸一化矩。

class Moments { public: ...... // 空間矩 double m00, m10, m01, m20, m11, m02, m30, m21, m12, m03;

// 中心矩double mu20, mu11, mu02, mu30, mu21, mu12, mu03;// 中心歸一化矩 double nu20, nu11, nu02, nu30, nu21, nu12, nu03; }空間矩的公式為：

可以知道，對於01二值化的影象，m00即為輪廓的面積。中心矩的公式為：

其中：

歸一化的中心矩公式為：

參考於連結

二階中心距，也叫作方差，它告訴我們一個隨機變數在它均值附近波動的大小，方差越大,波動性越大。方差也相當於機械運動中以重心為轉軸的轉動慣量。(The moment of inertia.)

三階中心距告訴我們一個隨機密度函式向左或向右偏斜的程度。

在均值不為零的情況下，原點距只有純數學意義。

A1,一階矩就是 E(X),即樣本均值。具體說來就是A1=(西格瑪Xi)/n ----（1）
A2,二階矩就是 E(X^2)即樣本平方均值 ,具體說來就是 A2=(西格瑪Xi^2)/n-----(2)
Ak,K階矩就是 E(X^k)即樣本K次方的均值,具體說來就是 Ak=(西格瑪Xi^k)/n，-----(3)

不變矩的物理含義：
如果把影象看成是一塊質量密度不均勻的薄板，其影象的灰度分佈函式f(x,y)就是薄板的密度分佈函式，則其各階矩有著不同的含義，如零階矩表示它的總質量；一階矩表示它的質心；二階矩又叫慣性矩，表示影象的大小和方向。事實上，如果僅考慮階次為2的矩集，則原始影象等同於一個具有確定的大小、方向和離心率，以影象質心為中心且具有恆定輻射率的橢圓。由三階矩以下矩構成的七個矩不變數具有平移、旋轉和尺度不變性等等。當密度分佈函式發生改變時，影象的實質沒有改變，仍然可以看做一個薄板，只是密度分佈有所改變。雖然此時各階矩的值可能發生變化，但由各階矩計算出的不變矩仍具有平移、旋轉和尺度不變性。通過這個思想，可對影象進行簡化處理，保留最能反映目標特性的資訊，再用簡化後的影象計算不變矩特徵，可減少計算量。

研究表明，只有基於二階矩的不變矩對二維物體的描述才是真正的與旋轉、平移和尺度無關的。較高階的矩對於成像過程中的誤差，微小的變形等因素非常敏感，所以相應的不變矩基本上不能用於有效的物體識別。即使是基於二階矩的不變矩也只能用來識別外形相差特別大的物理，否則他們的不變矩會因為很相似而不能識別。

在OpenCV中，還可以很方便的得到Hu不變距，Hu不變矩在影象旋轉、縮放、平移等操作後，仍能保持矩的不變性，所以有時候用Hu不變距更能識別影象的特徵。

1、在數學領域，矩 非常的常見
2、在計算機視覺中，使用2維離散形式的矩計算方法
3、使用矩，可以計算物體的面積，物體的質心等。
4、中心矩的計算方法是：某個矩除以0階矩
5、高階矩具有旋轉不變性，尺度不變性，變換不變性等。

我們很熟悉概率論中的一階矩二階矩高階矩，但是很多人可能和我一樣，不明白影象中矩是拿來幹嘛的。

在計算機視覺的書中，雖然有提到矩，但是講的很泛泛也很籠統。自然Google百度這些東西也是靠不牢的。在閱讀了相關論文之後，我終於大致對矩在影象中的應用有了瞭解。 其實矩除了在概率論中有體現，在幾何中也是學過的。比方說零階矩是物體的質量，一階矩和零階矩可以算出物體的中心，而二階矩是用來計算物體的方向的。 拿影象出來來說，影象可以看成是一個平板的物體，其一階矩和零階矩就可以拿來計算某個形狀的重心，而二階矩就可以拿來計算形狀的方向。 光說不練假把式，下面給出他們的計算公式：
其中M00即零階矩


M20和M02為二階矩，接下來計算物體形狀的方向



OpenCV程式碼如下所示：

#include <opencv2/opencv.hpp>
using namespace cv;
using namespace std;
Mat src; Mat src_gray;
int thresh = 30;
int max_thresh = 255;
RNG rng(12345);
int main(){
	src = imread( "opencv-logo.png" ,CV_LOAD_IMAGE_COLOR );
	cvtColor( src, src_gray, CV_BGR2GRAY );//灰度化
	GaussianBlur( src, src, Size(3,3), 0.1, 0, BORDER_DEFAULT );
	blur( src_gray, src_gray, Size(3,3) ); //濾波
	namedWindow( "image", CV_WINDOW_AUTOSIZE );
	imshow( "image", src );
	moveWindow("image",20,20);
	//定義Canny邊緣檢測影象
	Mat canny_output;
	vector<vector<Point> > contours;
	vector<Vec4i> hierarchy;
	//利用canny演算法檢測邊緣
	Canny( src_gray, canny_output, thresh, thresh*3, 3 );
	namedWindow( "canny", CV_WINDOW_AUTOSIZE );
	imshow( "canny", canny_output );
	moveWindow("canny",550,20);
	//查詢輪廓
	findContours( canny_output, contours, hierarchy, CV_RETR_TREE, CV_CHAIN_APPROX_SIMPLE, Point(0, 0) );
	//計算輪廓矩
	vector<Moments> mu(contours.size() );
	for( int i = 0; i < contours.size(); i++ )
	{ mu[i] = moments( contours[i], false ); }
	//計算輪廓的質心
	vector<Point2f> mc( contours.size() );
	for( int i = 0; i < contours.size(); i++ )
	{ mc[i] = Point2d( mu[i].m10/mu[i].m00 , mu[i].m01/mu[i].m00 ); }

	//畫輪廓及其質心並顯示
	Mat drawing = Mat::zeros( canny_output.size(), CV_8UC3 );
	printf("\t\t 幾何特性\n");
	for( int i = 0; i< contours.size(); i++ )
	{
		Scalar color = Scalar( rng.uniform(0, 255), rng.uniform(0,255), rng.uniform(0,255) );
		drawContours( drawing, contours, i, color, 2, 8, hierarchy, 0, Point() );
		circle( drawing, mc[i], 4, color, -1, 8, 0 );		
		rectangle(drawing, boundingRect(contours.at(i)), cvScalar(0,255,0));
		printf("目標%d - 面積：%.2f - 周長: %.2f ", i, mu[i].m00, contourArea(contours[i]), arcLength( contours[i], true ) );
		RotatedRect r = fitEllipse(contours.at(i));
		double majorAxis = r.size.height > r.size.width ? r.size.height : r.size.width;//長軸大小
		double minorAxis = r.size.height > r.size.width ? r.size.width : r.size.height;//短軸大小
		double area = mu[i].m00;//面積
		int perimeter = arcLength(contours.at(i), true);
		double orientation = r.angle;
		double orientation_rads = orientation*3.1416/180;
		printf("- 偏移角度: %.1f\n\n", orientation);
		double diameter = sqrt((4*area)/3.1416);//直徑
		double eccentricity = sqrt(1-pow(minorAxis/majorAxis,2));//離心率
		double roundness = pow(perimeter, 2)/(2*3.1416*area);//圓滑度
		line(drawing, Point(mc[i].x, mc[i].y), Point(mc[i].x+30*cos(orientation_rads), mc[i].y+30*sin(orientation_rads)), cvScalar(0,0,200), 3);
		char tam[100];
		sprintf(tam, "%.2f", orientation);
		putText(drawing, tam, Point(mc[i].x, mc[i].y), FONT_HERSHEY_SIMPLEX, 0.5, cvScalar(0,220,120),1.5);
	}
	namedWindow( "Contours", CV_WINDOW_AUTOSIZE );
	imshow( "Contours", drawing );
	moveWindow("Contours",1100,20);
	waitKey(0);
	src.release();
	src_gray.release();
	return 0;
}

結果如下：

計算得到的第二個目標物面積和周長明顯不正確，具體原因有待查詢