密碼學_RSA演算法原理詳解

阿新 • • 發佈：2019-01-06

1.RSA演算法簡介：

RSA公鑰加密演算法是1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的。1987年首次公佈，當時他們三人都在麻省理工學院工作。RSA就是他們三人姓氏開頭字母拼在一起組成的。
RSA是目前最有影響力的公鑰加密演算法，它能夠抵抗到目前為止已知的絕大多數密碼攻擊，已被ISO推薦為公鑰資料加密標準。
今天只有短的RSA鑰匙才可能被強力方式解破。到2008年為止，世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA演算法的方式。只要其鑰匙的長度足夠長，用RSA加密的資訊實際上是不能被解破的。但在分散式計算和量子計算機理論日趨成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑戰。
RSA演算法基於一個十分簡單的數論事實：將兩個大質數相乘十分容易，但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密金鑰。

(PS. 以上直接複製的百度百科的內容)。

2.RSA演算法原理簡介：

3.RSA演算法原理補充知識：

相信很多同學看了這個原理簡介還是很懵逼的，尤其是一些沒有學過離散數學，對數論沒有一點概念的同學更是如此，小編這裡對這個原理進行詳細的解釋，考慮到很多沒有數論基礎的同學對一些名詞可能會很陌生，以下小編會盡量的用一些通俗的語言對RSA演算法的原理進行一個詳細的解釋。

(1) 尤拉函式：

首先小編介紹尤拉函式，尤拉函式，用φ(n)表示，代表的是從1~n-1中與n互質(公因數只有1)的數的個數。

i) 那麼很顯然，如果n是一個質數，那麼φ(n) = n-1，因為很顯然比n小的數都和n互質。

ii)

如果一個數是一個質數p的冪，即n = p^k，則φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)，證明：n只與是p的倍數的數互質，n = p^k = pp^(k-1)，也就是說在1~n的範圍內有k-1個數是p的倍數，所以φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)。

iii) 尤拉函式是一個積性函式，當n,m互質的時候，φ(nm) = φ(n)φ(m)。

(2) 單位元，逆元：

關於單位元和逆元，這兩個東西是群論中非常重要的兩個關鍵詞，考慮到很多同學沒有學過離散群論，這裡也不太需要，那麼這裡小編也只介紹乘法逆元，以下的單位元就是1，也不再對單位元和逆元最總體的概念做介紹。

首先，如果我們已知A,C，知道A*B = C，那麼我們求B的方法很簡單，就是C/A。但是，如果我們已知A,C,M，知道A*B mod M = C，這個時候求B，我們就不能直接做除法了，因為很顯然，除法是不滿足同餘的，這樣的話我們就需要逆元，假設A關於M的逆元是P，那麼A*P mod M = 1，這就是逆元的概念，相乘對M取模得到的是單位元1，有了逆元P，我們求解B就可以用C*P就可以得到B。

(3) 尤拉-費馬定理：

如果a與n互質，那麼一定有a^φ(n) mod n = 1，φ(n)就是前面介紹的尤拉函式。由於尤拉-費馬定理的證明過程比較繁瑣，且內容涉及到的數論知識很多，考慮到很多同學對數論知識瞭解比較少，這裡小編知識給出這個定理的公式，不再給予證明。

4.RSA演算法原理詳解：

在理解了這些補充知識後，現在小編就一步一步的給大家解釋這個原理的詳細過程。首先，我們隨機選取兩個質數p,q，取N = p*q，根據前面小編介紹到的尤拉函式的性質，因為p,q都為質數，所以其尤拉函式就是(p-1),(q-1)，所以φ(N) = (p-1)*(q-1)。接下來我們再選擇一個與φ(N)互質的數e，求出e關於φ(N)的逆元d，那麼這個時候準備工作就好了，把e和N公佈為公鑰，使用者保留d和N作為金鑰。然後就是加密和解密的過程了，設A為我們的明文，C為我們的密文，加密的過程就是C = A^e mod N，解密過程就是A = C^d mod N，關鍵是解密過程可能有些同學會看不懂，小編這裡證明一下，C^d mod N = (A^e)^d mod N = A^(e*d) mod N = A*A^(e*d-1) mod N，證明到這裡需要小編之前介紹到的尤拉-費馬定理和逆元，因為d為e關於φ(N)的逆元，所以e*d mod φ(N) = 1，意思就是說e*d除N餘1，那麼這個式子可以寫成另一種形式：e*d = k*φ(N) + 1(k為常數)，所以我們的原式就變成了A*A^(k*φ(N)+1-1) mod N = A*A^(k*φ(N)) mod N = A mod N。以上就是對RSA原理通俗但是詳細的全部分析詳解(完) -------by Ra's Al Ghul

密碼學_RSA演算法原理詳解

1.RSA演算法簡介：

2.RSA演算法原理簡介：

3.RSA演算法原理補充知識：

(1) 尤拉函式：

i) 那麼很顯然，如果n是一個質數，那麼φ(n) = n-1，因為很顯然比n小的數都和n互質。

ii)

如果一個數是一個質數p的冪，即n = p^k，則φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)，證明：n只與是p的倍數的數互質，n = p^k = pp^(k-1)，也就是說在1~n的範圍內有k-1個數是p的倍數，所以φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)。

iii) 尤拉函式是一個積性函式，當n,m互質的時候，φ(nm) = φ(n)φ(m)。

(2) 單位元，逆元：

(3) 尤拉-費馬定理：

4.RSA演算法原理詳解：

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3.RSA演算法原理補充知識：

(1) 尤拉函式：

i) 那麼很顯然，如果n是一個質數，那麼φ(n) = n-1，因為很顯然比n小的數都和n互質。

ii) 如果一個數是一個質數p的冪，即n = p^k，則φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)，證明：n只與是p的倍數的數互質，n = p^k = p*p^(k-1)，也就是說在1~n的範圍內有k-1個數是p的倍數，所以φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)。

iii) 尤拉函式是一個積性函式，當n,m互質的時候，φ(n*m) = φ(n)*φ(m)。

(2) 單位元，逆元：

(3) 尤拉-費馬定理：

4.RSA演算法原理詳解：

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ii)

如果一個數是一個質數p的冪，即n = p^k，則φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)p^(k-1)，證明：n只與是p的倍數的數互質，n = p^k = pp^(k-1)，也就是說在1~n的範圍內有k-1個數是p的倍數，所以φ(n) = p^k-p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)。

iii) 尤拉函式是一個積性函式，當n,m互質的時候，φ(nm) = φ(n)φ(m)。