目錄

• 參考資料
• 概念
• 引理
• 到底如何構造
  • Step1:
  • Step2:
  • Step3

第二次學了...感覺像是重頭來過一樣...

參考資料

後綴自動機學習筆記-by Menci
校內PPT

概念

1. 後綴自動機實際上是兩個東西的合成物：一個有向無環圖（轉移）+一個後綴鏈接樹。並且後綴自動機最初始擁有一個根，暫且讓我們把它稱作Start；

2. 終點位置（endpos），就是一個字符串的右端點，即結束位置；

3. 終點集合：母串中的一個子串肯定有可能在母串中不止出現了一次，例如ababab中的ab就出現了3次，那麽每一次出現的終點位置組成的集合就是這個子串的終點集合。

4. 終點等價類：擁有相同的終點集合的子串就被稱作終點等價類。例如abcde,bcde,cde,de,e,它們在abcdeabcde這個母串中就屬於同一個終點等價類。

5. 後綴自動機的第一部分（有向無環圖），邊代表字母（叫做轉移邊），點代表一個終點等價類（而不是一個某一個特定的串）；第二部分（後綴鏈接樹），邊代表後綴鏈接，點的定義不變。兩個部分共享同一個點集。

6. 在一個終點等價類（一個節點）裏面，我們還有兩個值，一個叫做minlen，是這個等價類代表的最小的子串；還有一個叫maxlen，是這個等價類代表的最大的子串。

7. 後綴鏈接：後綴自動機中的每一個點（除了Start之外），都有這樣子的一個鏈接，其含義是將一個終點等價類分成很多個部分。假設當前的一個子串是abcde，有一個點是p，可能p只代表了abcde,bcde，而p的後綴鏈接指向的點pre[p]（等價類）代表的可能就是cde,de，再往上還有一個點pre[pre[p]]代表著e，但是p只會連向pre[p]，也就是maxlen[pre[p]]=minlen[p]-1

   的那個點。註意，Start代表著空串。也是所有串的後綴，屬於任意一個終點等價類。

（如有疏忽，後面會做詳細的解釋）

引理

一. 對於兩個非空子串str1,str2而言，如果strlen(str1)<=strlen(str2)並且str1和str2處於同一個終點等價類，那麽str1必定是str2的後綴。

證明：因為兩個串屬於同一個終點等價類，那麽它們右端點在母串中的任意一個位置一定是重合的。所以說str1一定是str2的後綴（幾乎可以由定義直接得到）。

二. 對於兩個非空子串str1,str2,如果滿足strlen(str1)<=strlen(str2)，他們所代表的的終點集合要麽交集為空，要麽Set(str2)屬於Set(str1)。

證明：分兩種情況討論。
一種是str1是str2的後綴，那麽出現了str2的地方就一定出現了str1，但是出現了str1的地方不一定出現了str2，那麽根據終點集合的定義就能發現Set(str2) 屬於Set(str1)；
還有一種情況，就是str1不是str2的後綴，那麽出現了str1的地方不可能出現str2，那麽交集就為空了。

三.在一個終點等價類裏面，將其代表的串排序後，一定呈現：前一個串時候一個串的後綴，並且前一個串的長度正好是後一個串的長度-1。

證明：假設有一個終點等價類，裏面最長的串是abcde，那麽這個等價類裏面必定還有bcde,cde,de,e，正好符合（又是由定義直接可得？？）。

四.後綴鏈接形成了一棵以Start為根的一棵樹

證明：假設有一個節點p，因為它的後綴鏈接只會連向比maxlen自己的minlen小1的那個點，那麽就有了唯一的一條後綴鏈接。這樣每一個點都有唯一的後綴鏈接，而Start沒有後綴鏈接，那肯定就是一棵樹。

五：沿著後綴鏈接向上跑的過程，可以看做是將終點等價類進行不斷地合並，越往上走，能夠代表的終點等價類越完整

證明：由引理三的證明可以感受一下，越往下面的點，它代表的終點等價類的部分的子串數越來越少；而沿著後綴鏈接向上走的過程中，由於長度越來越短，所以說它能夠代表的後綴等價類也越來越多。

舉個例子：母串為abcdeabcde，其中代表eabcde那個點只有這一個子串，也只能夠代表這一個子串；而包含e能夠代表e,de,cde,bcde,abcde,eabcde...，能夠代表的終點等價類的範圍顯然就寬了不少，也就是將下面的那些子串合並起來了。

到底如何構造

說道底，這才是後綴自動機真正的難點所在...我甚至建議一邊看建圖過程一邊看引理的證明。過程主要註重理解。

在這裏采用的是動態的加入過程，也就是一個字符一個字符地加入。

假設當前加入的字符是chr，然後讓我們再來定義一些奇奇怪怪的變量：

• 當前新建的點是np。
• 上一次加入的點是p，也就是這次我們需要把np接在後面的那個點。同時p也是我們通過後綴鏈接不斷地向前跳的當前點。
• 假設遇到p有一條字符chr的轉移邊，那麽就令q為p->nxt[chr]。
• 如果要新建關於q的新建點的話，我們就叫它nq吧。

有了這些之後，讓我們來看一下怎樣建立後綴自動機。註意，後綴自動機的兩部分都要兼顧哦。（後面的圖中，虛邊都表示轉移邊，實邊都表示後綴鏈接）

Step1:

當前要加入的字符為chr。首先申請一個新的節點np，然後利用全局維護的上一次插入的新節點last，令p=last(根據之前的定義)，然後又因為你新加入這個節點代表的最長的子串(也就是maxlen)就等於last的maxlen+1，即令maxlen[np]=maxlen[last+1]（附加一句，其實在過程中我們只需要維護maxlen，minlen只是用來幫助我們進行分析的）。

Step2:

然後現在我們就有了新的節點np和當前位置p。我們沿著p的後綴鏈接往前跳，每走到一個點p，就需要判斷當前的p是否有字符chr這條轉移邊。如果沒有，就進行以下的操作：

在p點新添加一條chr的轉移邊，連向np。因為p點沒有一條到達chr的轉移邊，那麽在p處添加一個字符後可能就出現了以前沒有的串，所以需要新加入一條轉移邊。
新加入轉移邊後，就可以讓p繼續沿著後綴鏈接往前跑，每次繼續進行這樣的判斷就可以了。
(因為當前的p可能只代表了某個終點等價類的某一個長度區間，而為了能夠表示所有的子串，我們需要將以chr結尾的這個終點等價類的所有的子串都表示出來，多以需要往前跑)。

需要註意的一點是，假如說一直都沒有遇到一個點有chr這條轉移邊，那麽我們就需要將np的後綴鏈接指向Start。因為這個時候有maxlen[Start]=minlen[Start]-1，根據之前後綴鏈接的定義可得，此時必須，也只能將np的後綴鏈接指向Start。

如上圖，就是這樣跑（一直都沒有chr這條轉移邊時）建出來的圖的樣子了。

Step3

到了這裏，終於來到後綴自動機真正有意思的地方了，也是最復雜的地方。
我們前面說了沒有chr這條轉移邊的情況應該如何處理，那有chr這條轉移邊又該怎樣呢？

先上個圖：

當前的p點就是這樣一種情況（其中的chr邊是本來就有的）。q是p本來的chr邊轉移到的點。

然後我們需要分兩種情況進行討論。
其一是maxlen[p]+1=maxlen[q]。這個時候說明了q所代表的的最長的子串是由p加上chr之後轉移過來的，這個時候就可以直接讓np的後綴鏈接接到q上，然後直接退出就可以了（因為此時的q應該已經代表了它應該代表的完整的終點等價類）。也可以由公式算出：
\(maxlen[q]=maxlen[p]+1\)。設p之前在的那個點是p‘，又因為\(minlen[p‘]=minlen[u]-1\)且\(maxlen[p]=minlen[p‘]-1\)。然後通過公式的代換，就能夠得到\(maxlen[q]=minlen[p‘]-1+1=minlen[u]-1\)，再根據後綴鏈接的定義就應該連這條邊作為後綴鏈接了。

其二是maxlen[p]+1<maxlen[q]，這個時候就不能夠直接讓np的後綴鏈接直接接到q上了，因為q此時不一定只代表了maxlen[p]+1的部分，還代表了>maxlen[p]+1的部分，而這一部分是不能夠被算進去的。這個時候應當怎麽辦呢？
此時我們需要新建一個節點，將q中>maxlen[p]+1的那些子串分離出來。

可以看出新加了不少的邊。
讓我們先從實邊，也就是後綴鏈接說起。因為nq代表的是maxlen[nq]=maxlen[p]+1的部分，而q代表的是maxlen[q]>maxlen[p]+1的部分，而minlen[q]=maxlen[nq]+1，所以說q必定要將後綴鏈接指向nq。而np的後綴鏈接必定也要連向nq。同時，由於可以將nq和q看做是一個整體，所以說nq應繼承q原來的信息，將後綴鏈接之前原來的q的後綴鏈接指向的那個點。

在來看轉移邊。p的後綴鏈接以上的點如果有連向q的轉移邊，也要重定向到nq。唯一不同的是t,是之前令maxlen[t]+1=maxlen[q]>maxlen[p]+1的那個點，它仍然需要將轉移邊指向q，因為此時上式仍然成立。而p的轉移邊應指向nq，因為此時我們設的就是maxlen[nq]=maxlen[p]+1。
這樣子就成功應對了這種情況。同樣也可以直接退出了。

先更到這裏，有一些經典運用的話，後面會補上。板子也會貼在後面的~~

後綴數組及其建圖