線段樹詳解
By 巖之痕
目錄： 一：綜述 二：原理 三：遞迴實現 四：非遞迴原理 五：非遞迴實現 六：線段樹解題模型 七：掃描線 八：可持久化 (主席樹) 九：練習題

一：綜述

假設有編號從1到n的n個點，每個點都存了一些資訊，用[L,R]表示下標從L到R的這些點。 線段樹的用處就是，對編號連續的一些點進行修改或者統計操作，修改和統計的複雜度都是O(log2(n)).
線段樹的原理，就是，將[1,n]分解成若干特定的子區間(數量不超過4*n),然後，將每個區間[L,R]都分解為 少量特定的子區間，通過對這些少量子區間的修改或者統計，來實現快速對[L,R]的修改或者統計。
由此看出，用線段樹統計的東西，必須符合區間加法，否則，不可能通過分成的子區間來得到[L,R]的統計結果。
符合區間加法的例子： 數字之和——總數字之和 = 左區間數字之和 + 右區間數字之和 最大公因數(GCD)——總GCD = gcd( 左區間GCD , 右區間GCD ); 最大值——總最大值=max(左區間最大值，右區間最大值)

不符合區間加法的例子： 眾數——只知道左右區間的眾數，沒法求總區間的眾數 01序列的最長連續零——只知道左右區間的最長連續零，沒法知道總的最長連續零
一個問題，只要能化成對一些連續點的修改和統計問題，基本就可以用線段樹來解決了，具體怎麼轉化在第六節會講。 由於點的資訊可以千變萬化，所以線段樹是一種非常靈活的資料結構，可以做的題的型別特別多，只要會轉化。 線段樹當然是可以維護線段資訊的，因為線段資訊也是可以轉換成用點來表達的（每個點代表一條線段）。 所以在以下對結構的討論中，都是對點的討論，線段和點的對應關係在第七節掃描線中會講。
本文二到五節是講對線段樹操作的原理和實現。 六到八節介紹了線段樹解題模型，以及一些例題。
初學者可以先看這篇文章： 線段樹從零開始

二：原理

（注：由於線段樹的每個節點代表一個區間，以下敘述中不區分節點和區間，只是根據語境需要，選擇合適的詞）
線段樹本質上是維護下標為1,2,..,n的n個按順序排列的數的資訊，所以，其實是“點樹”，是維護n的點的資訊，至於每個點的資料的含義可以有很多， 在對線段操作的線段樹中，每個點代表一條線段，在用線段樹維護數列資訊的時候，每個點代表一個數，但本質上都是每個點代表一個數。以下，在討論線段樹的時候，區間[L,R]指的是下標從L到R的這(R-L+1)個數，而不是指一條連續的線段。只是有時候這些數代表實際上一條線段的統計結果而已。

線段樹是將每個區間[L,R]分解成[L,M]和[M+1,R] (其中M=(L+R)/2 這裡的除法是整數除法，即對結果下取整)直到 L==R 為止。  開始時是區間[1,n] ,通過遞迴來逐步分解，假設根的高度為1的話，樹的最大高度為（n>1）。 線段樹對於每個n的分解是唯一的，所以n相同的線段樹結構相同，這也是實現可持久化線段樹的基礎。 下圖展示了區間[1,13]的分解過程：

上圖中，每個區間都是一個節點，每個節點存自己對應的區間的統計資訊。

(1)線段樹的點修改：

假設要修改[5]的值，可以發現，每層只有一個節點包含[5],所以修改了[5]之後，只需要每層更新一個節點就可以線段樹每個節點的資訊都是正確的，所以修改次數的最大值為層數。 複雜度O(log2(n))

(2)線段樹的區間查詢：

線段樹能快速進行區間查詢的基礎是下面的定理： 定理：n>=3時，一個[1,n]的線段樹可以將[1,n]的任意子區間[L,R]分解為不超過個子區間。 這樣，在查詢[L,R]的統計值的時候，只需要訪問不超過個節點，就可以獲得[L,R]的統計資訊，實現了O(log2(n))的區間查詢。
下面給出證明：
(2.1)先給出一個粗略的證明（結合下圖）： 先考慮樹的最下層，將所有在區間[L,R]內的點選中，然後，若相鄰的點的直接父節點是同一個，那麼就用這個父節點代替這兩個節點（父節點在上一層）。這樣操作之後，本層最多剩下兩個節點。若最左側被選中的節點是它父節點的右子樹，那麼這個節點會被剩下。若最右側被選中的節點是它的父節點的左子樹，那麼這個節點會被剩下。中間的所有節點都被父節點取代。 對最下層處理完之後，考慮它的上一層，繼續進行同樣的處理，可以發現，每一層最多留下2個節點，其餘的節點升往上一層，這樣可以說明分割成的區間（節點）個數是大概是樹高的兩倍左右。
下圖為n=13的線段樹，區間[2,12]，按照上面的敘述進行操作的過程圖：
由圖可以看出：在n=13的線段樹中，[2,12]=[2] + [3,4] + [5,7] + [8,10] + [11,12] 。

(2.2)然後給出正式一點的證明： 定理：n>=3時，一個[1,n]的線段樹可以將[1,n]的任意子區間[L,R]分解為不超過個子區間。

用數學歸納法，證明上面的定理： 首先,n=3,4,5時，用窮舉法不難證明定理成立。 假設對於n= 3,4,5,...,k-1上式都成立，下面來證明對於n=k ( k>=6 )成立： 分為4種情況來證明：
情況一：[L,R]包含根節點(L=1且R=n)，此時，[L,R]被分解為了一個節點，定理成立。
情況二：[L,R]包含根節點的左子節點，此時[L,R]一定不包含根的右子節點（因為如果包含，就可以合併左右子節點， 用根節點替代，此時就是情況一）。這時，以右子節點為根的這個樹的元素個數為。 [L,R]分成的子區間由兩部分組成： 一：根的左子結點，區間數為1  二：以根的右子節點為根的樹中，進行區間查詢，這個可以遞迴使用本定理。 由歸納假設可得，[L,R]一共被分成了個區間。 情況三：跟情況二對稱，不一樣的是，以根的左子節點為根的樹的元素個數為。 [L,R]一共被分成了個區間。 從公式可以看出，情況二的區間數小於等於情況三的區間數，於是只需要證明情況三的區間數符合條件就行了。 於是，情況二和情況三定理成立。
情況四：[L,R]不包括根節點以及根節點的左右子節點。 於是，剩下的層，每層最多兩個節點（參考粗略證明中的內容）。 於是[L,R]最多被分解成了個區間，定理成立。  

上面只證明了是上界，但是，其實它是最小上界。 n=3,4時，有很多組區間的分解可以達到最小上界。 當n>4時，當且僅當n=2^t (t>=3),L=2,R=2^t -1 時，區間[L,R]的分解可以達到最小上界。 就不證明了，有興趣可以自己去證明。 下圖是n=16 , L=2 , R=15 時的操作圖，此圖展示了達到最小上界的樹的結構。

(3)線段樹的區間修改：

線段樹的區間修改也是將區間分成子區間，但是要加一個標記，稱作懶惰標記。 標記的含義： 本節點的統計資訊已經根據標記更新過了，但是本節點的子節點仍需要進行更新。 即，如果要給一個區間的所有值都加上1，那麼，實際上並沒有給這個區間的所有值都加上1，而是打個標記，記下來，這個節點所包含的區間需要加1.打上標記後，要根據標記更新本節點的統計資訊，比如，如果本節點維護的是區間和，而本節點包含5個數，那麼，打上+1的標記之後，要給本節點維護的和+5。這是向下延遲修改，但是向上顯示的資訊是修改以後的資訊，所以查詢的時候可以得到正確的結果。有的標記之間會相互影響，所以比較簡單的做法是，每遞迴到一個區間，首先下推標記（若本節點有標記，就下推標記），然後再打上新的標記，這樣仍然每個區間操作的複雜度是O(log2(n))。
標記有相對標記和絕對標記之分： 相對標記是將區間的所有數+a之類的操作，標記之間可以共存，跟打標記的順序無關（跟順序無關才是重點）。 所以，可以在區間修改的時候不下推標記，留到查詢的時候再下推。       注意：如果區間修改時不下推標記，那麼PushUp函式中，必須考慮本節點的標記。                  而如果所有操作都下推標記，那麼PushUp函式可以不考慮本節點的標記，因為本節點的標記一定已經被下推了（也就是對本節點無效了） 絕對標記是將區間的所有數變成a之類的操作，打標記的順序直接影響結果， 所以這種標記在區間修改的時候必須下推舊標記，不然會出錯。
注意，有多個標記的時候，標記下推的順序也很重要，錯誤的下推順序可能會導致錯誤。
之所以要區分兩種標記，是因為非遞迴線段樹只能維護相對標記。 因為非遞迴線段樹是自底向上直接修改分成的每個子區間，所以根本做不到在區間修改的時候下推標記。 非遞迴線段樹一般不下推標記，而是自下而上求答案的過程中，根據標記更新答案。

(4)線段樹的儲存結構：

線段樹是用陣列來模擬樹形結構，對於每一個節點R ,左子節點為 2*R (一般寫作R<<1)右子節點為 2*R+1（一般寫作R<<1|1） 然後以1為根節點，所以，整體的統計資訊是存在節點1中的。 這麼表示的原因看下圖就很明白了，左子樹的節點標號都是根節點的兩倍，右子樹的節點標號都是左子樹+1：
線段樹需要的陣列元素個數是：,一般都開4倍空間，比如： int A[n<<2];

三：遞迴實現

以下以維護數列區間和的線段樹為例，演示最基本的線段樹程式碼。

(0)定義：

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1. #define maxn 100007  //元素總個數  
2. #define ls l,m,rt<<1  
3. #define rs m+1,r,rt<<1|1  
4. int Sum[maxn<<2],Add[maxn<<2];//Sum求和，Add為懶惰標記   
5. int A[maxn],n;//存原陣列資料下標[1,n]   

(1)建樹：

[cpp]  view plain  copy

1. //PushUp函式更新節點資訊 ，這裡是求和  
2. void PushUp(int rt){Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];}  
3. //Build函式建樹   
4. void Build(int l,int r,int rt){ //l,r表示當前節點區間，rt表示當前節點編號  
5.     if(l==r) {//若到達葉節點   
6.         Sum[rt]=A[l];//儲存陣列值   
7.         return;  
8.     }  
9.     int m=(l+r)>>1;  
10.     //左右遞迴   
11.     Build(l,m,rt<<1);  
12.     Build(m+1,r,rt<<1|1);  
13.     //更新資訊   
14.     PushUp(rt);  
15. }  

(2)點修改：

假設A[L]+=C: