引入

如果給你n個數，然後進行q次詢問，每次詢問一個區間[x,y]的和，你會怎麼做？ 
第一種方法：最簡單的方法，用陣列存起來，每次列舉x-y，ans加起來就可以，時間複雜度O(qn)，十分慢。 
第二種方法：或許大多數人會使用字首和陣列：sum[i]=a[1]+a[2]+…+a[i]，所以求[x,y]只需要輸出sum[y]-sum[x-1]即可，時間複雜度O(n)，這是最快的方法之一了。

但是，如果加上一個條件：在q次詢問中，有可能會臨時使a[m]加上或減去一個數k（我們令這個為update(m,k)操作），也有可能會查詢一個區間的和，怎麼辦呢？ 
如果還是用字首和陣列，就不方便了，因為update(m,k)需要更新sum[m]到sum[n]的值，於是時間複雜度又變為了O(qn)。 
那麼怎麼辦呢？於是有了樹狀陣列。

樹狀陣列

概念

樹狀陣列，時間複雜度log級別的資料結構，且實現複雜度極小，不論是上面提到的update操作還是求字首和。 

如圖，A陣列是原始n個數的陣列，C陣列就是是樹狀陣列（“樹狀”陣列，是指一個普通陣列，按樹狀儲存，而不是一種STL中的資料結構）。

實現

觀察一下有什麼規律。

• C[1] = A[1]
• C[2] = C[1] + A[2] = A[1] + A[2]
• C[3] = A[3]
• C[4] = C[2] + C[3] +A[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4]
• C[5] = A[5]
• C[6] = C[5] + A[6] = A[5] + A[6]
• C[7] = A[7]
• C[8] = C[4] + C[6] + C[7] + A[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8]

不難發現，好像和二進位制很有關係。

但是很難再想下去，事實上是這樣的： 
定義lowbit(x)為x二進位制下末尾0的個數。 
則含有C[i0]的C陣列中的位置有： 
i0 
i1 = i0 + lowbit(i0) 
i2 = i1 + lowbit(i1) 
i3 = 

for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))

• 1

計算lowbit

lowbit(x)=x&-x 
為什麼？這裡複製了一篇證明（懶得打）

首先明白一個概念，計算機中-i=（i的取反+1），也就是i的補碼 
而lowbit，就是求（樹狀陣列中）一個數二進位制的1的最低位，例如01100110，lowbit=00000010；再例如01100000，lowbit=00100000。 
所以若一個數（先考慮四位）的二進位制為abcd，那麼其取反為(1-a)(1-b)(1-c)(1-d)，那麼其補碼為(1-a)(1-b)(1-c)(2-d)。 
如果d為1，什麼事都沒有-_-|||但我們知道如果d為0，天理不容2Σ( ° △ °|||)︴ 
於是就要進位。如果c也為0，那麼1-b又要加1，然後又有可能是1-a……直到碰見一個為補碼為0的bit，我們假設這個bit的位置為x 
這個時候可以發現：是不是x之前的bit的補碼都與其自身不同？，x之後的補碼與其自身一樣都是0？ 
例如01101000，反碼為10010111，補碼為10011000，可以看到在原來數正數第五位前，補碼的進位因第五位使其不會受到影響，於是0&1=0,； 
但在這個原來數“1”後，所有零的補碼都會因加1而進位，導致在這個“1”後所有數都變成0，再加上0&0=0，所以他們運算結果也都是零； 
只有在這個數處，0+1=1，連鎖反應停止，所以這個數就被確定啦O(∩_∩)O 
所以and以後只有x這個bit是一……

update操作

當要動態改變一個數時，用剛剛的迴圈枚舉出與它相關的位置，都增加（減少）即可：

void update(int k,int x)
{
    for(int i=k;i<=n;i+=lowbit(i))
        C[i]+=x;
}

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5

getsum操作

就是求字首和，同樣的，倒著進行剛剛的迴圈，累加路上的值即可：

int getsum(int x)
{
    int ans=0;
    for(int i=x;i;i-=lowbit(i))//i要大於0
        ans+=C[i];
    return ans;
}

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7

關於程式碼風格

樹狀陣列的update和getsum基本是通用的，建議不要自己改函式名，lowbit可以寫函式，也可以巨集定義：#define lowbit(x) (x&-x)

例題

Stars