Manacher’s algorithm 求最長子迴文串

用該演算法求解最長迴文子串，時間和空間複雜度都是O(n)。
這裡有篇英文解釋，可供參考。演算法不太好理解，所以在理解的時候記錄下來，怕遺忘。

演算法思想

1. 準備

1. 首先，對迴文子串做處理，每個字元之間加入一個無關字元（“#“），如abcd程式設計#a#b#c#d#，這樣做好處是，總能把迴文變成奇數個，這樣只用考慮由中心向兩邊拓展的迴文。

2. 其次，定義需要用到的陣列或變數。

   • S：處理過後的字串，可以理解成char陣列
   • P：和s對應長度的陣列，陣列第i位記錄著S第i位為中心，除去#之後的最大的迴文的長度（也就是說求出來的長度要去除#的數量）。

   所以我們要做的就變成了將P陣列中的每個值(除去S對應下表為“#”的位置)都求解出來。

3. 對於P陣列，我們可以先將S對應下表為“#”的位置全部置為0（因為我們不需要這些資料，也不需要計算它），同時我們總可以得到P[1] = 1。

   而接下來的步驟就是根據已經知道的值來計算後面未知的值。這個計算基於這樣顯而易見的一個規律：一個迴文串，在中心位置的左半部分邊如果是一個子迴文串，那麼對稱的右半部分也會是一個子迴文串。

   應用在長度上就是：一個迴文串，在中心位置的左半部分邊如果是一個子迴文串且長度為l，那麼對稱的右半部分也會是一個子迴文串，長度也是l

2. 演算法核心

1. 方便理解，再定義一些變數

   • i：我們目前要求的P[i]的值的下標
   • center：包含i所在位置的最大的迴文子串的中心所在位置的下標
   • mirror：i關於center的對稱點。這個點的P[mirror]已經被求解過

2. 那麼按照我們之前所說的規律，P[i] = P[mirror]。

       0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
   T = # b # a # b # c # b # a # b # c # b # a # c # c # b #
   P = 0 1 0 3 0 1 0 7 0 ? 0 ...
   i = 9
   center = 7
   mirror = 5

   但是發現這個結論有問題，並不是都成立。

       0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
   T = # b # a # b # c # b # a # b # c # b # a # c # c # b # 
   P = 0 1 0 3 0 1 0 7 0 1 0 ? ...
   i = 11
   center = 7
   mirror = 3

   這裡展示了一種不成立的情況：按照之前的假設，P[11] = P[3] = 3，但是事實上P[11] = 9，迴文串為abcbabcba.

   而不成立的時候，都是如下情況：

   • 以mirror為中心的最大回文字串 超過了 以center為中心的最大回文字串 的控制範圍。
   • 換句話說，就是以mirror為中心的最大回文字串的最左端 超過了 以center為中心的最大回文字串的最左端。
   • 再精確一點，center-P[center] > mirror - P[mirror]。注意這裡的減的是P[mirror] P[center]而不是 P[mirror]/2 P[center]/2，因為字串被填充過#，而P記錄的長度是不包括#的。

3. 基於以上討論。最終我們只要分為兩種情況

   1. 若center-P[center] < mirror - P[mirror]，不用計算，P[i] = P[mirror]
   2. 若相反，只要按照迴文串的判斷，一個個比較字元是否相等，得到迴文最大的長度。