MATLAB引數估計normfit()函式和mle()函式
matlab中normfit在正態分佈中的使用技巧如下:
函式 normfit 格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) ；
[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] =normfit(X,alpha)
說明 muhat,sigmahat分別為正態分佈的引數μ和σ的估計值；,muci,sigmaci分別為置信區,其置信度為：alpha
給出顯著水平α,預設時預設為0.05,即置信度為95%.
例4-62 有兩組(每組100個元素)正態隨機資料,其均值為10,均方差為2,求95%的置信區間和引數估計值.
解
:>>r = normrnd (10,2,100,2); %產生兩列正態隨機資料
>>[mu,sigma,muci,sigmaci] =normfit(r)
則結果為
mu =
10.1455 10.0527 %各列的均值的估計值
sigma =
1.9072 2.1256 %各列的均方差的估計值
muci =
9.7652 9.6288
10.5258 10.4766
sigmaci =
1.6745 1.8663
2.2155 2.4693
說明：muci,sigmaci中各列分別為原隨機資料各列估計值的置信區間,置信度為95%.
MLE(maximum likelihood estimation，最大似然估計)，的基本原理是通過選擇引數使
似然函式最大化。此處，我們只講隨機數分佈估計。假設隨機分佈的PDF為 f(x,theta),
其中x為隨機數，theta是分佈的引數。我們有x1,x2,…,xn共n個取樣觀察值，似然函
數
L(theta)=f(x1,theta)*f(x2,theta)*…*f(xn,theta)
然後選擇能讓L()最大的theta取值。注意，這個不叫做”極大似然估計”，因為theta可能
是有上限或下限，而能夠讓L()最大的theta值可能恰好是上限或下限，此時的theta就不
是極大值點。
下面我們用隨機生成的資料實地講述mle()函式的用法。
語法一、mle(觀察值, ‘distribution’, ‘分佈名稱’), 下面兩個命令，第一個是生成100萬個服從標準正太分佈的隨機數，第二句是用mle()函式估計這些隨機數服從的正太分佈的引數值。
》 testdata=randn(1e6,1);
》 [paramhat,paramint]=mle(testdata,'distribution','norm')
paramhat =
-0.000218972940353 0.999431366252859
paramint =
-0.002177825773582 0.998048679206182
0.001739879892876 1.000818918426322
可以獲得兩個結果，paramhat和paramint，paramhat中有兩個數值，第一個是正態分
布均值(mu)的點估計，後一個是正態分佈的標準差(sigma)。paramint中第1，2
兩列分佈對應mu和sigma的區間估計。從結果來看，mu和sigma的區間估計都很窄，
而且很接近我們生成隨機數時使用的引數值。
語法二、mle(觀察值, ‘pdf’, 自定義分佈pdf, ‘start’, 猜測的分佈引數值), pdf是分佈的
概率密度函式，格式是f(X,theta)，前面是X，後面跟引數值。
也支援cdf等等，詳見幫助。這個語法適合不在上述列表內的隨機分佈。我們先看一個手工
指定正態分佈PDF函式的例子。下面的程式碼、第一句生產10萬個標準正態分佈隨機數，
第二句自定義一個正態分佈PDF函式，第三句用MLE()
》 testdata=randn(1e5,1);
》[email protected](x,mu,sigma)(1/sqrt(2*pi*sigma*sigma)*exp(-(x-
mu).^2/2/sigma/sigma));
》[paramhat,paramint]=mle(testdata,'pdf',mynormpdf,'start',[.1,.5])
paramhat =
0.002066365428022 1.002194631105154
paramint =
-0.004145187769578 0.997802401528087
0.008277918625623 1.006586860682221