最直觀的方法，根據定義，因為質數除了1和本身之外沒有其他約數，所以判斷n是否為質數，根據定義直接判斷從2到n-1是否存在n的約數即可。C++程式碼如下：

bool isPrime_1( int num )
{
    int tmp =num- 1;
    for(int i= 2;i <=tmp; i++)
      if(num %i== 0)
         return 0 ;
    return 1 ;
}

2）直觀判斷法改進

上述判斷方法，明視訊記憶體在效率極低的問題。對於每個數n，其實並不需要從2判斷到n-1，我們知道，一個數若可以進行因數分解，那麼分解時得到的兩個數一定是一個小於等於sqrt(n)，一個大於等於sqrt(n)，據此，上述程式碼中並不需要遍歷到n-1，遍歷到sqrt(n)即可，因為若sqrt(n)左側找不到約數，那麼右側也一定找不到約數。C++程式碼如下：

bool isPrime_2( int num )
{
     int tmp =sqrt( num);
     for(int i= 2;i <=tmp; i++)
        if(num %i== 0)
          return 0 ;
     return 1 ;
}
 

3）另一種方法

方法（2）應該是最常見的判斷演算法了，時間複雜度O(sqrt(n))，速度上比方法（1）的O(n)快得多。最近在網上偶然看到另一種更高效的方法，暫且稱為方法（3）吧，由於找不到原始的出處，這裡就不貼出連結了，如果有原創者看到，煩請聯絡我，必定補上版權引用。下面講一下這種更快速的判斷方法；
首先看一個關於質數分佈的規律：大於等於5的質數一定和6的倍數相鄰。例如5和7，11和13,17和19等等；

證明：令x≥1，將大於等於5的自然數表示如下：······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······可以看到，不在6的倍數兩側，即6x兩側的數為6x+2，6x+3，6x+4，由於2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它們一定不是素數，再除去6x本身，顯然，素數要出現只可能出現在6x的相鄰兩側。這裡有個題外話，關於孿生素數，有興趣的道友可以再另行了解一下，由於與我們主題無關，暫且跳過。這裡要注意的一點是，在6的倍數相鄰兩側並不是一定就是質數。此時判斷質數可以6個為單元快進，即將方法（2）迴圈中i++步長加大為6，加快判斷速度，原因是，假如要判定的數為n，則n必定是6x-1或6x+1的形式，對於迴圈中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，則n至少得是一個偶數，但是6x-1或6x+1的形式明顯是一個奇數，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，則n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。綜上，迴圈中只需要考慮6i-1和6i+1的情況，即迴圈的步長可以定為6，每次判斷迴圈變數k和k+2的情況即可，理論上講整體速度應該會是方法（2）的3倍。

程式碼如下：

bool isPrime_3( int num )
{
                 //兩個較小數另外處理
                 if(num ==2|| num==3 )
                                 return 1 ;
                 //不在6的倍數兩側的一定不是質數
                 if(num %6!= 1&&num %6!= 5)
                                 return 0 ;
                 int tmp =sqrt( num);
                 //在6的倍數兩側的也可能不是質數
                 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )
                                 if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )
                                                 return 0 ;
                 //排除所有，剩餘的是質數
                 return 1 ;
}
 

演算法效能測試：編寫測試程式碼，使用較多資料測試比較幾種方法的判斷效率，資料量40w，程式碼如下：

#include <iostream>
#include <string>
#include <ctime>
#include <vector>
using namespace std;
bool isPrime_1( int num );
bool isPrime_2( int num );
bool isPrime_3( int num );
int main()
{
                 int test_num =400000;
                 int tstart ,tstop; //分別記錄起始和結束時間
                 //測試第一個判斷質數函式
                 tstart=clock ();
                 for(int i= 1;i <=test_num; i++)
                                 isPrime_1(i );
                 tstop=clock ();
                 cout<<"方法(1)時間(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;//ms為單位
                 //測試第二個判斷質數函式
                 tstart=clock ();
                 for(int i= 1;i <=test_num; i++)
                                 isPrime_2(i );
                 tstop=clock ();
                 cout<<"方法(2)時間(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;
                 //測試第三個判斷質數函式
                 tstart=clock ();
                 for(int i= 1;i <=test_num; i++)
                                 isPrime_3(i );
                 tstop=clock ();
                 cout<<"方法(3)時間(ms):" <<tstop- tstart<<endl ;
                 cout<<endl ;
                 system("pause" );
                 return 0 ;
}

執行結果如下；

可以看出，判斷到40w，效率上方法（1）明顯要差得多，方法（2）和方法（3）在這種測試數量下時間相差2倍多單獨對比方法（2）和（3），資料量加到1000w，結果如下：
可以看出，方法（2）和方法（3）在這種測試數量下時間相差依然是2倍多，不過已經是很不錯的提升。對了，附上執行環境，CPU-i5-3210，記憶體4G，win7，vs2012。好了，判斷質數的方法暫時就到這裡，不足之處歡迎各道友指出。