計算幾何之凸包----Graham掃描法
阿新 • • 發佈：2019-01-07
計算幾何之凸包(convexHull)----Graham掃描法
關於凸包的嚴格定義，這裡不打算寫出來，大家可以自行Google或者百度，因為嚴格的數學定義反而不太好理解，用最通俗的話來解釋凸包：給定二維平面上的點集，凸包就是將最外層的點連線起來構成的凸多邊型，它能包含點集中所有的點。如圖所示(圖片來自wiki)
凸包最常見的應用是求平面上距離最遠的兩個點，一般有兩種演算法來計算包含n個點的點集的凸包。這種兩種演算法都是按逆時針方向的順序輸出凸包。第一種演算法就是接下來要介紹的Graham掃描法(Graham's scan),時間複雜度為O(nlgn)。第二種演算法是Jarvis步進法(Jarvis march),時間複雜度為O(nh),其中h為凸包頂點的個數。第二種演算法下次介紹，先介紹Graham掃描法(Graham's scan)： 
下面是我自己理解的步驟： 1、先選出點集
中y座標最小的點記為
,
按照極角(polar angle)從小到大排序(以 為極點)，極角相同的點按照到的距離從小到大排序。
3、把
壓入棧。
4、遍歷剩下的點
,while迴圈把發現不是凸包頂點的點移除出去，因為當逆時針遍歷凸包時，我們應該在每個頂點向左轉。因此當while迴圈發現在一個頂點處沒有向左轉時，就把該頂點移除出去。至於如何判斷向左向右則是根據叉積來判斷，好吧，看來又出現了一個新概念，又要介紹下叉積。。。。其實對極角排序，也是根據叉積來判斷的。如下圖所示的向量
我們可以把叉積理解為由點(0,0)，，和+=
所構成的平行四邊形有向面積.
比較簡潔的定義是矩陣行列式：
,若
值為正，則相對原點來說，在右側(順時針方向)，若值為負，在左側(逆時針方向)。所以相對公共端點
，可以計算叉積
如果叉積為正，在右側。為負，在左側。好吧。。。終於把叉積介紹完了，只能說畫圖寫公式真的很費時間，所以請尊重原創，真的不容易！！！
下面介紹如何用叉積確定向左轉還是向右轉，其實把上面的叉積介紹了下，也差不多了，因為凸包頂點必然都是向左轉，不能向右轉。簡答貼一段演算法導論中的介紹，腦補一下吧：
基本上把叉積介紹完了，回到尋找凸包上，把graham掃面的演算法也介紹了，這時候其實已經可以擼程式碼了，但是為了讓路過的同學更清晰明白演算法的執行過程，放個步驟圖： 
看完步驟圖應該很清晰明瞭，希望能幫助大家。
凸包最常見的應用是求平面上距離最遠的兩個點，一般有兩種演算法來計算包含n個點的點集的凸包。這種兩種演算法都是按逆時針方向的順序輸出凸包。第一種演算法就是接下來要介紹的Graham掃描法(Graham's scan),時間複雜度為O(nlgn)。第二種演算法是Jarvis步進法(Jarvis march),時間複雜度為O(nh),其中h為凸包頂點的個數。第二種演算法下次介紹，先介紹Graham掃描法(Graham's scan)：
下面是我自己理解的步驟： 1、先選出點集
中y座標最小的點記為,
如果y座標相同則相同點中x座標最小的點。
2、把按照極角(polar angle)從小到大排序(以 為極點)，極角相同的點按照到的距離從小到大排序。
3、把壓入棧。
4、遍歷剩下的點,while迴圈把發現不是凸包頂點的點移除出去，因為當逆時針遍歷凸包時，我們應該在每個頂點向左轉。因此當while迴圈發現在一個頂點處沒有向左轉時，就把該頂點移除出去。至於如何判斷向左向右則是根據叉積來判斷，好吧，看來又出現了一個新概念，又要介紹下叉積。。。。其實對極角排序，也是根據叉積來判斷的。如下圖所示的向量我們可以把叉積理解為由點(0,0)，，和+=所構成的平行四邊形有向面積.
比較簡潔的定義是矩陣行列式：
,若值為正，則相對原點來說，在右側(順時針方向)，若值為負，在左側(逆時針方向)。所以相對公共端點，可以計算叉積如果叉積為正，
在右側。為負，在左側。好吧。。。終於把叉積介紹完了，只能說畫圖寫公式真的很費時間，所以請尊重原創，真的不容易！！！
下面介紹如何用叉積確定向左轉還是向右轉，其實把上面的叉積介紹了下，也差不多了，因為凸包頂點必然都是向左轉，不能向右轉。簡答貼一段演算法導論中的介紹，腦補一下吧：
基本上把叉積介紹完了，回到尋找凸包上，把graham掃面的演算法也介紹了，這時候其實已經可以擼程式碼了，但是為了讓路過的同學更清晰明白演算法的執行過程，放個步驟圖：
看完步驟圖應該很清晰明瞭，希望能幫助大家。