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在學習引導濾波，最好對高斯濾波和雙邊濾波有過理解，對於高斯濾波: $W_{ij}=\frac{1}{K_{}}$

i e x p ( − ∣ x

j − x i ∣ 2 σ

2 ) W_{ij} = \frac{1}{K_i}exp(-\frac{|x_j-x_i|^2}{\sigma^2}) ，其中 $W$是權重， $i$和 $j$是畫素的索引， $K$是歸一化的常量。公式可以看出，權重只和畫素之間的空間距離有關係存在關係，濾波效果和影象內容無關。所以為了增加對不同的影象有不同的濾波效果，引入了雙邊濾波，雙邊濾波的形式為: $W_{i,j}=\frac{1}{K_i}exp(-\frac{|x_j-x_i|^2}{\sigma_s^2})exp(-\frac{|I_j-I_i|^2}{\sigma_r^2})$，其中 $I$是畫素的強度值，所以雙邊濾波在強度差距大的地方(邊緣)，權重會減小，濾波效應會減少。也就是說，雙邊濾波在畫素強度變化不大的區域，有類似於高斯濾波的效果，而在影象邊緣等畫素強度梯度較大的地方可以保持梯度。

引導濾波

這個方法是何凱明提出的，在引導濾波中，首先利用了局部線性模型。這個模型認為某函式上一點與其近鄰部分的點成線性關係，一個複雜的函式就可以用很多區域性的線性函式來表示，當需要求該函式上某一點的值時，只需要計算所有包含該點的線性函式的值並取平均值即可。這種模型，在表示非解析函式上，非常有用。同理，我們可以認為影象是一個二維函式，並且假設該函式的輸出與輸入在一個二維視窗內滿足線性關係，如下： $q_i=a_kI_i+b_k, \forall i \in w_k$其中，q是輸出畫素的值，I是輸入影象的值，i和k是畫素索引，a和b是當視窗中心位於k時該線性函式的係數。其實，輸入影象不一定是待濾波的影象本身，也可以是其他影象即引導影象，這也是為何稱為引導濾波的原因。對上式兩邊取梯度，可以得到 $\partial q = a \partial I$即當輸入影象I有梯度時，輸出q也有類似的梯度，現在可以解釋為什麼引導濾波有邊緣保持特性了。下一步是求出線性函式的係數，也就是線性迴歸，即希望擬合函式的輸出值與真實值p之間的差距最小，也就是讓下式最小 $E(a_k, b_k)=\sum_{i\in w_k}{((a_kI_i + b_k - p_i)^2 + \varepsilon a_k^2)}$，這裡p只能是待濾波影象，並不像I那樣可以是其他影象。同時，a之前的係數用於防止求得的a過大，也是調節濾波器濾波效果的重要引數(相當於L2正則化的權重懲罰)。接下來利用最小二乘法的原理令 $\frac{\partial E}{\partial a_k}=0$和 $\frac{\partial E}{b_k}=0$得到2個二元一次方程，聯立求解得到 $a_k = \frac{\frac{1}{w}\sum_{i\in w_k}I_ip_i-u_k\bar p_k}{\sigma_k^2+\varepsilon}$， $b_k=\bar p_k - a_ku_k$，其中 $u_k$是I在視窗 $w_k$的平均值， $\sigma_k^2$是I在視窗 $w_k$的方差， $|w|$是視窗 $w_k$