如果在這個人工智慧的時代，作為一個有理想抱負的程式設計師，或者學生、愛好者，不懂深度學習這個超熱的話題，似乎已經跟時代脫節了。

但是，深度學習對數學的要求，包括微積分、線性代數和概率論與數理統計等，讓大部分的有理想抱負青年踟躕前行。那麼問題來了，理解深度學習，到底需不需要這些知識？

關於深度學習，網上的資料很多，不過大部分都不太適合初學者。楊老師總結了幾個原因：

• 深度學習確實需要一定的數學基礎。如果不用深入淺出地方法講，有些讀者就會有畏難的情緒，因而容易過早地放棄。

• 中國人或美國人寫的書籍或文章，普遍比較難。

深度學習所需要的數學基礎並沒有想象中的那麼難，只需要知道導數和相關的函式概念即可。假如你高等數學也沒學過，很好，這篇文章其實是想讓文科生也能看懂，只需要學過初中數學。

不必有畏難的情緒，我比較推崇李書福的精神，在一次電視採訪中，李書福說：誰說中國人不能造汽車？造汽車有啥難的，不就是四個輪子加兩排沙發嘛。當然，他這個結論有失偏頗，不過精神可嘉。

“王小二賣豬”解讀深度學習之導數

導數是什麼？

無非就是變化率，比如：王小二今年賣了 100 頭豬，去年賣了 90 頭，前年賣了 80 頭。。。變化率或者增長率是什麼？每年增長 10 頭豬，多簡單。

這裡需要注意有個時間變數---年。王小二賣豬的增長率是 10頭/年，也就是說，導數是 10。

函式 y = f(x) = 10x + 30，這裡我們假設王小二第一年賣了 30 頭，以後每年增長 10 頭，x代表時間（年），y代表豬的頭數。

當然，這是增長率固定的情形，而現實生活中，很多時候，變化量也不是固定的，也就是說增長率不是恆定的。

比如，函式可能是這樣: y = f(x) = 5x² + 30，這裡 x 和 y 依然代表的是時間和頭數，不過增長率變了，怎麼算這個增長率，我們回頭再講。或者你乾脆記住幾個求導的公式也可以。

深度學習還有一個重要的數學概念：偏導數

偏導數的偏怎麼理解？偏頭疼的偏，還是我不讓你導，你偏要導？

都不是，我們還以王小二賣豬為例，剛才我們講到，x 變數是時間（年），可是賣出去的豬，不光跟時間有關啊，隨著業務的增長，王小二不僅擴大了養豬場，還僱了很多員工一起養豬。

所以方程式又變了：y = f(x) = 5x₁² + 8x₂ + 35x₃ + 30

這裡 x₂ 代表面積，x₃ 代表員工數，當然 x₁ 還是時間。

以撩妹為例，解讀深度學習之“偏導數”

偏導數是什麼

偏導數無非就是多個變數的時候，針對某個變數的變化率。在上面的公式裡，如果針對 x₃ 求偏導數，也就是說，員工對於豬的增長率貢獻有多大。

或者說，隨著（每個）員工的增長，豬增加了多少，這裡等於 35---每增加一個員工，就多賣出去 35 頭豬。

計算偏導數的時候，其他變數都可以看成常量，這點很重要，常量的變化率為 0，所以導數為 0，所以就剩對 35x₃ 求導數，等於 35。對於 x₂ 求偏導，也是類似的。

求偏導，我們用一個符號表示：比如 y / x₃ 就表示 y 對 x₃ 求偏導。

廢話半天，這些跟深度學習到底有啥關係？當然有關係，深度學習是採用神經網路，用於解決線性不可分的問題。

這裡我主要講講數學與深度學習的關係。先給大家看幾張圖：

圖1：所謂深度學習，就是具有很多個隱層的神經網路

圖2：單輸出的時候，怎麼求偏導數

圖3：多輸出的時候，怎麼求偏導數

後面兩張圖是日本人寫的關於深度學習的書裡面的兩張圖片。所謂入力層，出力層，中間層，分別對應於中文的：輸入層，輸出層，和隱層。

大家不要被這幾張圖嚇著，其實很簡單，就以撩妹為例。男女戀愛我們大致可以分為三個階段：

• 初戀期。相當於深度學習的輸入層。別人吸引你，肯定是有很多因素，比如：身高，身材，臉蛋，學歷，性格等等，這些都是輸入層的引數，對每個人來說權重可能都不一樣。

• 熱戀期。我們就讓它對應隱層吧！這個期間，雙方各種磨合，柴米油鹽醬醋茶。

• 穩定期。對應輸出層，是否合適，就看磨合得咋樣了。大家都知道，磨合很重要，怎麼磨合呢？就是不斷學習訓練和修正的過程！

  比如女朋友喜歡草莓蛋糕，你買了藍莓的，她的反饋是 negative，你下次就別買了藍莓，改草莓了。

看完這個，有些小夥可能要開始對自己女友調參了。有點不放心，所以補充一下。撩妹和深度學習一樣，既要防止欠擬合，也要防止過擬合。

所謂欠擬合，對深度學習而言，就是訓練得不夠，資料不足，就好比，你撩妹經驗不足。要做到擬合，送花當然是最基本的，還需要提高其他方面，比如，提高自身說話的幽默感等。這裡需要提一點，欠擬合固然不好，但過擬合就更不合適了。

過擬合跟欠擬合相反，一方面，如果過擬合，她會覺得你有陳冠希老師的潛質，更重要的是，每個人情況不一樣，就像深度學習一樣，訓練集效果很好，但測試集不行！

就撩妹而言，她會覺得你受前任(訓練集)影響很大，這是大忌！如果給她這個印象，你以後有的煩了，切記切記！

深度學習也是一個不斷磨合的過程，剛開始定義一個標準引數（這些是經驗值，就好比情人節和生日必須送花一樣），然後不斷地修正，得出圖 1 每個節點間的權重。

為什麼要這樣磨合？試想一下，我們假設深度學習是一個小孩，我們怎麼教他看圖識字？

肯定得先把圖片給他看，並且告訴他正確的答案，需要很多圖片，不斷地教他，訓練他，這個訓練的過程，其實就類似於求解神經網路權重的過程。以後測試的時候，你只要給他圖片，他就知道圖裡面有什麼了。

所以訓練集，其實就是給小孩看帶有正確答案的圖片，對於深度學習而言，訓練集就是用來求解神經網路的權重，最後形成模型；而測試集，就是用來驗證模型的準確度。

對於已經訓練好的模型，如下圖所示，權重（w1，w2...）都已知。

圖4

圖5

像上面這樣，從左至右容易算出來。但反過來，測試集有圖片，也有預期的正確答案，要反過來求 w1，w2......，怎麼辦？

怎麼求偏導數？

繞了半天，終於該求偏匯出場了。目前的情況是：

我們假定一個神經網路已經定義好，比如有多少層，每層有多少個節點，也有預設的權重和啟用函式等。輸入（影象）確定的情況下，只有調整引數才能改變輸出的值。怎麼調整，怎麼磨合？

每個引數都有一個預設值，我們就對每個引數加上一定的數值∆，然後看看結果如何？如果引數調大，差距也變大，那就得減小∆，因為我們的目標是要讓差距變小；反之亦然。

所以為了把引數調整到最佳，我們需要了解誤差對每個引數的變化率，這不就是求誤差對於該引數的偏導數嗎？

這裡有兩個點：一個是啟用函式，主要是為了讓整個網路具有非線性特徵。我們前面也提到了，很多情況下，線性函式沒辦法對輸入進行適當的分類（很多情況下識別主要是做分類）。

那麼就要讓網路學出來一個非線性函式，這裡就需要啟用函式，因為它本身就是非線性的，所以讓整個網路也具有了非線性特徵。

另外，啟用函式也讓每個節點的輸出值在一個可控的範圍內，計算也方便。

貌似這樣解釋還是很不通俗，其實還可以用撩妹來打比方：女生都不喜歡白開水一樣的日子，因為這是線性的，生活中當然需要一些浪漫情懷了，這個啟用函式嘛，我感覺類似於生活中的小浪漫，小驚喜。

相處的每個階段，需要時不時啟用一下，製造點小浪漫，小驚喜。比如，一般女生見了可愛的小杯子，瓷器之類都邁不開步子，那就在她生日的時候送一個特別樣式，讓她感動得想哭。

前面講到男人要幽默，這是為了讓她笑，適當的時候還要讓她激動得哭。一哭一笑，多整幾個回合，她就離不開你了。因為你的非線性特徵太強了。

當然，過猶不及，小驚喜也不是越多越好，但完全沒有就成白開水了。就好比每個 layer 都可以加啟用函式，當然，不見得每層都要加啟用函式，但完全沒有，那是不行的。

關鍵是怎麼求偏導。圖 2 和圖 3 分別給了推導的方法，其實很簡單，從右至左挨個求偏導就可以。相鄰層的求偏導很簡單，因為是線性的，所以偏導數其實就是引數本身嘛，就跟求解 x₃ 的偏導類似。然後把各個偏導相乘就可以了。

這裡有兩個點：一個是啟用函式，其實啟用函式也沒啥，就是為了讓每個節點的輸出都在 0 到 1 的區間，這樣好算賬，所以在結果上面再做了一層對映，都是一對一的。

由於啟用函式的存在，在求偏導的時候，也要把它算進去，啟用函式，一般用 sigmoid，也可以用 Relu 等。啟用函式的求導其實也非常簡單：

求導： f'(x)=f(x)*[1-f(x)]

這個方面，有時間可以翻看一下高數，如果沒時間，直接記住就行了。至於 Relu，那就更簡單了，就是 f(x) 當 x<0 的時候 y 等於 0，其他時候，y 等於 x。

當然，你也可以定義你自己的 Relu 函式，比如 x 大於等於 0 的時候，y 等於 0.01x，也可以。

什麼是學習係數？

另一個是學習係數，為什麼叫學習係數？

剛才我們上面講到∆增量，到底每次增加多少合適？是不是等同於偏導數（變化率）？

經驗告訴我們，需要乘以一個百分比，這個就是學習係數，而且，隨著訓練的深入，這個係數是可以變的。

當然，還有一些很重要的基本知識，比如 SGD（隨機梯度下降），mini batch 和 epoch（用於訓練集的選擇）。

上面描述的內容，主要是關於怎麼調整引數，屬於初級階段。上面也提到，在調參之前，都有預設的網路模型和引數，如何定義最初始的模型和引數？就需要進一步深入瞭解。

不過，對於一般做工程而言，只需要在預設的網路上調參就可以，相當於使用演算法；對於學者和科學家而言，他們會發明演算法，這有很大的難度。向他們致敬！

來源：知乎Jacky Yang

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