嗯…於是學一波網路流罷
之前學過一波，不過失敗了orz
希望這次能學成功（x）

建模

想象一下，你在排程貨車運輸（不是最小生成樹+LCA那道題放心吧），但是有些橋是有載重限制的。比如下圖：

綠色的邊表示橋，上面的數字表示載重。
老闆打算從A到G。
顯然，作為一個老闆，超載是不合適的，姑且不論貨物安全，還有可能受到法律懲罰！那麼，最多能一次載多少貨物呢？

在解決這個問題之前，我們先為這一模型定義一些概念。
出發點成為源點，也就是A，顯然，該點入度為0
終點稱為匯點，也就是G，顯然，該點出度為0
而每條邊上的最大載重稱為容量，例如CD邊的容量是6。引入符號c[i,j]

表示從節點i到節點j的容量；在實際問題中，一條邊不一定必須達到載重，一個載重6t的路放4t的貨車運輸，那麼我們就稱4是這條路的流量。引入符號f[i,j]表示節點i到節點j的容量。
顯然，由於不可能超過限重，f[i,j]<=c[i,j]恆成立。
並且，貨物顯然不能損失吧，所以源點和匯點的流量是相同的，對於所有點，流入的流量和流出是相同的。

建模完成，接下來就是求解了。

增廣

首先，我們定義一種合理的載重方法為可行流。比如下圖：

黃色的代表一個可行流，其中數字第一個表示容量，第二個為流量。
我們知道，零流就是一個典型代表——畢竟，它並不會超過容量。

然後，我們就可以開始增廣操作了。其實增廣是一種自然而然的想法：假定路徑s

是當前的流，並且，這條路徑還可以拓展，那麼我們就試圖去塞進去更多的流。
這樣說不是很明白，舉個栗子（為了方便我畫圖起見我們姑且換一個圖）來演示一下過程好了。

好的，現在先yy一下圖中存在0流。這裡我們寫了一個東西叫做剩餘，表示的是當前這中方式下還有多少流能夠匯入。
那麼，增廣開始。不妨採用BFS的思想，第一次找到了路徑A−B−C
我們發現，這條路線上最多能增廣2單位的流，所以我們將流注入。

圖中的n/m表示流量/容量
此時變成了這種樣子。然後我們仍然BFS，發現了A−B−D−C這條路徑。這條路徑上最多能增廣一個單位的流，於是增長之。

沒毛病！然後再去增廣A−D−C這條路，結果發現，可以增長三個單位的流。增長之：

掃視一遍，發現未有能增廣者，結束增廣。
完成了，可喜可賀。由於源點和匯點的流量相同，我們知道，最大流就是6個單位。為之四顧，為之躊躇滿志。
但是，在你躍躍欲試去寫網路流模板之前，不得不先潑一瓢涼水——
如果此時BFS沒有去增廣A−B−C，而是先增廣了A−B−D−C呢？這個時候，我們再來看看情況：

（上面的CD應該剩餘1，寫錯了）
繼續：

驚悚的事情發生了。
沒錯，之後沒有辦法增廣了，但是！此時我們求出的最大流是4！

這是否證明我們的貪心思路是錯的呢？
機制的珂學家們引入了下面的概念，完美的迴避掉了這個致命的漏洞——

反向弧

既然這麼貪不一定是對的，那麼我們就可以引入一種後悔機制，來提供反悔的機會。
怎麼搞呢？我們可以每增廣一次，就建立一條反向邊。
仍然是上面的例子，在對A−B−C−D增廣之後如下圖。

注意，這裡的A′B′C′D′並不是虛點，而是ABCD本身，這裡只是為了方便畫圖和觀察所以分開畫了。
然後呢——我們發現，A−D−B−C變得可增廣了，也就是，A−D,D′B′,BC這條。那麼我們對它進行增廣之後：

這個圖可能稍微有些亂，紅色的是我們增廣的東西，綠色是增廣建的反向邊。
當然，繼續掃一遍，發現A−D−C還可以增廣，於是最後的結果：

沒有可以增廣的了——完成DAZE！
所以最終的結果就是6。
那麼可能有人會問了——上面我們走了A−D−B−C這條原本不應該存在的路，意義是什麼呢？其實，這相當我們把原本貪心走BD這條路的流逼了回去，轉而走BC。

上面就是一切網路流問題的基礎，也是最大流的原理。下一篇文章，我們考慮其實現辦法。

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