視覺slam系列更多偏向對本人的記錄而非講解，因此敘述部分會佔多數，推導過程幾乎沒有，文章主要內容摘自《視覺slam十四講》《計算機視覺中的多檢視幾何》《機器人學中的狀態估計》，部落格內容僅為幫助自己記憶，本人僅起到總結作用，所有內容均摘自以上幾本書。

相機模型

畫素座標系

針孔相機模型

$f$代表相機的焦距，空間上有某點P

真實成像平面，對稱成像平面，歸一化成像平面的圖示（上圖）。整理得：

$\begin{aligned} X ^ { \prime } & = f \frac { X } { Z } \\ Y ^ { \prime } & = f \frac { Y } { Z } \end{aligned}$

畫素座標系通常的定義方式是：原點 $O ^ { \prime }$位於影象的左上角， $u$ 軸向右與x 軸平行， $\mathcal { v }$軸向下與y 軸平行。畫素座標系與成像平面之間，相差了一個縮放和一個原點的平移。我們設畫素座標在 $u$軸上縮放了 $\alpha$ 倍，在 $\mathcal { v }$上縮放了 $\beta$倍。同時，原點平移了 $\left[ c _ { x } , c _ { y } \right] ^ { T }$。那麼，P′ 的座標與畫素座標 $[ u , v ] ^ { T }$ 的關係為：

$u = \alpha X ^ { \prime } + c _ { x }$
$v = \beta Y ^ { \prime } + c _ { y }$

整理後得：

$u = f _ { x } \frac { X } { Z } + c _ { x }$
$v = f _ { y } \frac { Y } { Z } + c _ { y }$

其中， $f$的單位為米， $\alpha$ $\beta$ 的單位為畫素每米，所以 $f _ { x } , f _ { y }$ 的單位為畫素。把該式寫成矩陣形式，會更加簡潔，左側需要用到齊次座標：

$\left( \begin{array} { l } { u } \\ { v } \\ { 1 } \end{array} \right) = \frac { 1 } { Z } \left( \begin{array} { c c c } { f _ { x } } & { 0 } & { c _ { x } } \\ { 0 } & { f _ { y } } & { c _ { y } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { X } \\ { Y } \\ { z } \end{array} \right) \triangleq \frac { 1 } { Z } K P$

把Z 挪到左側：

$Z \left( \begin{array} { l } { u } \\ { v } \\ { 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { f _ { x } } & { 0 } & { c _ { x } } \\ { 0 } & { f _ { y } } & { c _ { y } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { X } \\ { Y } \\ { z } \end{array} \right) \triangleq K P$