授權自 論智

你遇到過特徵超過1000個的資料集嗎？超過5萬個的呢？我遇到過。降維是一個非常具有挑戰性的任務，尤其是當你不知道該從哪裡開始的時候。擁有這麼多變數既是一個恩惠——資料量越大，分析結果越可信；也是一種詛咒——你真的會感到一片茫然，無從下手。

面對這麼多特徵，在微觀層面分析每個變數顯然不可行，因為這至少要幾天甚至幾個月，而這背後的時間成本是難以估計的。為此，我們需要一種更好的方法來處理高維資料，比如本文介紹的降維：一種能在減少資料集中特徵數量的同時，避免丟失太多資訊並保持/改進模型效能的方法。

每天，我們都會生成大量資料，而事實上，現在世界上約90%的資料都是在過去3到4年中產生的，這是個令人難以置信的現實。如果你不信，下面是收集資料的幾個示例：

• Facebook會收集你喜歡、分享、釋出、訪問的內容等資料，比如你喜歡哪家餐廳。

• 智慧手機中的各類應用會收集大量關於你的個人資訊，比如你所在的地點。

• 淘寶會收集你在其網站上購買、檢視、點選的內容等資料。

• 賭場會跟蹤每位客戶的每一步行動。

隨著資料的生成和資料收集量的不斷增加，視覺化和繪製推理圖變得越來越困難。一般情況下，我們經常會通過繪製圖表來視覺化資料，比如假設我們手頭有兩個變數，一個年齡，一個身高。我們就可以繪製散點圖或折線圖，輕鬆反映它們之間的關係。

下圖是一個簡單的例子：

其中橫座標X1的單位為“千克”，縱座標X2的單位為“磅”。可以發現，雖然是兩個變數，但它們傳達的資訊是一致的，即物體的重量。所以我們只需選用其中的一個就能保留原始意義，把2維資料壓縮到1維（Y1）後，上圖就變成：

類似地，我們可以把資料從原本的p維轉變為一系列k維的子集（k<<n），這就是降維。

以下是在資料集中應用降維的用處：

• 隨著資料維度不斷降低，資料儲存所需的空間也會隨之減少。

• 低維資料有助於減少計算/訓練用時。

• 一些演算法在高維度資料上容易表現不佳，降維可提高演算法可用性。

• 降維可以用刪除冗餘特徵解決多重共線性問題。比如我們有兩個變數：“一段時間內在跑步機上的耗時”和“卡路里消耗量”。這兩個變數高度相關，在跑步機上花的時間越長，燃燒的卡路里自然就越多。因此，同時儲存這兩個資料意義不大，只需一個就夠了。

• 降維有助於資料視覺化。如前所述，如果資料維度很高，視覺化會變得相當困難，而繪製二維三維資料的圖表非常簡單。

資料集1：Big Mart Sales III

資料維度的降低方法主要有兩種：

• 僅保留原始資料集中最相關的變數（特徵選擇）。

• 尋找一組較小的新變數，其中每個變數都是輸入變數的組合，包含與輸入變數基本相同的資訊（降維）。

1. 缺失值比率（Missing Value Ratio）

假設你有一個數據集，你第一步會做什麼？在構建模型前，對資料進行探索性分析必不可少。但在瀏覽資料的過程中，有時候我們會發現其中包含不少缺失值。如果缺失值少，我們可以填補缺失值或直接刪除這個變數；如果缺失值過多，你會怎麼辦呢？

當缺失值在資料集中的佔比過高時，一般我會選擇直接刪除這個變數，因為它包含的資訊太少了。但具體刪不刪、怎麼刪需要視情況而定，我們可以設定一個閾值，如果缺失值佔比高於閾值，刪除它所在的列。閾值越高，降維方法越積極。

下面是具體程式碼：

# 匯入需要的庫
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

載入資料：

# 讀取資料
train=pd.read_csv("Train_UWu5bXk.csv")

[注]：應在讀取資料時新增檔案的路徑。

用.isnull().sum()檢查每個變數中缺失值的佔比：

train.isnull().sum()/len(train)*100

如上表所示，缺失值很少。我們設閾值為20%：

# 儲存變數中的缺失值
a = train.isnull().sum()/len(train)*100
# 儲存列名
variables = train.columns
variable = [ ]
for i in range(0,12):
if a[i]<=20:   #setting the threshold as 20%
        variable.append(variables[i])

2. 低方差濾波（Low Variance Filter）

如果我們有一個數據集，其中某列的數值基本一致，也就是它的方差非常低，那麼這個變數還有價值嗎？和上一種方法的思路一致，我們通常認為低方差變數攜帶的資訊量也很少，所以可以把它直接刪除。

放到實踐中，就是先計算所有變數的方差大小，然後刪去其中最小的幾個。需要注意的一點是：方差與資料範圍相關的，因此在採用該方法前需要對資料做歸一化處理。

放在示例中，我們先估算缺失值：

train['Item_Weight'].fillna(train['Item_Weight'].median, inplace=True)
train['Outlet_Size'].fillna(train['Outlet_Size'].mode()[0], inplace=True)

檢查缺失值是否已經被填充：

train.isnull().sum()/len(train)*100

再計算所有數值變數的方差：

train.var()

如上圖所示，和其他變數相比，Item_Visibility的方差非常小，因此可以把它直接刪除。

umeric = train[['Item_Weight', 'Item_Visibility', 'Item_MRP', 'Outlet_Establishment_Year']]
var = numeric.var()
numeric = numeric.columns
variable = [ ]
for i in range(0,len(var)):
ifvar[i]>=10:   # 將閾值設定為10％
       variable.append(numeric[i+1])

以上程式碼幫我們列出了方差大於10的所有變數。

3. 高相關濾波（High Correlation filter）

如果兩個變數之間是高度相關的，這意味著它們具有相似的趨勢並且可能攜帶類似的資訊。同理，這類變數的存在會降低某些模型的效能（例如線性和邏輯迴歸模型）。為了解決這個問題，我們可以計算獨立數值變數之間的相關性。如果相關係數超過某個閾值，就刪除其中一個變數。

作為一般準則，我們應該保留那些與目標變數顯示相當或高相關性的變數。

首先，刪除因變數（ItemOutletSales），並將剩餘的變數儲存在新的資料列（df）中。

df=train.drop('Item_Outlet_Sales', 1)
df.corr()

如上表所示，示例資料集中不存在高相關變數，但通常情況下，如果一對變數之間的相關性大於0.5-0.6，那就應該考慮是否要刪除一列了。

4. 隨機森林（Random Forest）

隨機森林是一種廣泛使用的特徵選擇演算法，它會自動計算各個特徵的重要性，所以無需單獨程式設計。這有助於我們選擇較小的特徵子集。

在開始降維前，我們先把資料轉換成數字格式，因為隨機森林只接受數字輸入。同時，ID這個變數雖然是數字，但它目前並不重要，所以可以刪去。

from sklearn.ensemble importRandomForestRegressor
df=df.drop(['Item_Identifier', 'Outlet_Identifier'], axis=1)
model = RandomForestRegressor(random_state=1, max_depth=10)
df=pd.get_dummies(df)
model.fit(df,train.Item_Outlet_Sales)

擬合模型後，根據特徵的重要性繪製成圖：

features = df.columns
importances = model.feature_importances_
indices = np.argsort(importances[0:9])  # top 10 features
plt.title('Feature Importances')
plt.barh(range(len(indices)), importances[indices], color='b', align='center')
plt.yticks(range(len(indices)), [features[i] for i in indices])
plt.xlabel('Relative Importance')
plt.show()

基於上圖，我們可以手動選擇最頂層的特徵來減少資料集中的維度。如果你用的是sklearn，可以直接使用SelectFromModel，它根據權重的重要性選擇特徵。

from sklearn.feature_selection importSelectFromModel
feature = SelectFromModel(model)
Fit = feature.fit_transform(df, train.Item_Outlet_Sales)

5. 反向特徵消除（Backward Feature Elimination）

以下是反向特徵消除的主要步驟：

• 先獲取資料集中的全部n個變數，然後用它們訓練一個模型。

• 計算模型的效能。

• 在刪除每個變數（n次）後計算模型的效能，即我們每次都去掉一個變數，用剩餘的n-1個變數訓練模型。

• 確定對模型效能影響最小的變數，把它刪除。

• 重複此過程，直到不再能刪除任何變數。

在構建線性迴歸或Logistic迴歸模型時，可以使用這種方法。

from sklearn.linear_model importLinearRegression
from sklearn.feature_selection import RFE
from sklearn import datasets
lreg = LinearRegression()
rfe = RFE(lreg, 10)
rfe = rfe.fit_transform(df, train.Item_Outlet_Sales)

我們需要指定演算法和要選擇的特徵數量，然後返回反向特徵消除輸出的變數列表。此外，rfe.ranking_可以用來檢查變數排名。

6. 前向特徵選擇（Forward Feature Selection）

前向特徵選擇其實就是反向特徵消除的相反過程，即找到能改善模型效能的最佳特徵，而不是刪除弱影響特徵。它背後的思路如下所述：

• 選擇一個特徵，用每個特徵訓練模型n次，得到n個模型。

• 選擇模型效能最佳的變數作為初始變數。

• 每次新增一個變數繼續訓練，重複上一過程，最後保留效能提升最大的變數。

• 一直新增，一直篩選，直到模型效能不再有明顯提高。

from sklearn.feature_selection import f_regression
ffs = f_regression(df,train.Item_Outlet_Sales )

上述程式碼會返回一個數組，其中包括變數F值和每個F對應的p值。在這裡，我們選擇F值大於10的變數：

variable = [ ]
for i in range(0,len(df.columns)-1):
if ffs[0][i] >=10:
       variable.append(df.columns[i])

[注]：前向特徵選擇和反向特徵消除耗時較久，計算成本也都很高，所以只適用於輸入變數較少的資料集。

到目前為止，我們介紹的6種方法都能很好地解決示例的商場銷售預測問題，因為這個資料集本身輸入變數不多。在下文中，為了展示多變數資料集的降維方法，我們將把資料集改成Fashion MNIST，它共有70,000張影象，其中訓練集60,000張，測試集10,000張。我們的目標是訓練一個能分類各類服裝配飾的模型。

資料集2：Fashion MNIST

7. 因子分析（Factor Analysis）

因子分析是一種常見的統計方法，它能從多個變數中提取共性因子，並得到最優解。假設我們有兩個變數：收入和教育。它們可能是高度相關的，因為總體來看，學歷高的人一般收入也更高，反之亦然。所以它們可能存在一個潛在的共性因子，比如“能力”。

在因子分析中，我們將變數按其相關性分組，即特定組內所有變數的相關性較高，組間變數的相關性較低。我們把每個組稱為一個因子，它是多個變數的組合。和原始資料集的變數相比，這些因子在數量上更少，但攜帶的資訊基本一致。

import pandas as pd
import numpy as np
from glob import glob
import cv2
images = [cv2.imread(file) for file in glob('train/*.png')]

[注]：你必須使用train資料夾的路徑替換glob函式內的路徑。

現在我們先把這些影象轉換為numpy陣列格式，以便執行數學運算並繪製圖像。

images = np.array(images)
images.shape

返回：(60000, 28, 28, 3)

如上所示，這是一個三維陣列，但我們的目標是把它轉成一維，因為後續只接受一維輸入。所以我們還得展平影象：

image = []
for i in range(0,60000):
    img = images[i].flatten()
    image.append(img)
image = np.array(image)

建立一個數據框，其中包含每個畫素的畫素值，以及它們對應的標籤：

train = pd.read_csv("train.csv")     # Give the complete path of your train.csv file
feat_cols = [ 'pixel'+str(i) for i in range(image.shape[1]) ]
df = pd.DataFrame(image,columns=feat_cols)
df['label'] = train['label']

用因子分析分解資料集：

from sklearn.decomposition importFactorAnalysis
FA = FactorAnalysis(n_components = 3).fit_transform(df[feat_cols].values)

這裡，n_components將決定轉換資料中的因子數量。轉換完成後，視覺化結果：

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(12,8))
plt.title('Factor Analysis Components')
plt.scatter(FA[:,0], FA[:,1])
plt.scatter(FA[:,1], FA[:,2])
plt.scatter(FA[:,2],FA[:,0])

在上圖中，x軸和y軸表示分解因子的值，雖然共性因子是潛在的，很難被觀察到，但我們已經成功降維。

8. 主成分分析（PCA）

如果說因子分析是假設存在一系列潛在因子，能反映變數攜帶的資訊，那PCA就是通過正交變換將原始的n維資料集變換到一個新的被稱做主成分的資料集中，即從現有的大量變數中提取一組新的變數。下面是關於PCA的一些要點：

• 主成分是原始變數的線性組合。

• 第一個主成分具有最大的方差值。

• 第二主成分試圖解釋資料集中的剩餘方差，並且與第一主成分不相關（正交）。

• 第三主成分試圖解釋前兩個主成分等沒有解釋的方差。

再進一步降維前，我們先隨機繪製資料集中的某些圖：

rndperm = np.random.permutation(df.shape[0])
plt.gray()
fig = plt.figure(figsize=(20,10))
for i in range(0,15):
    ax = fig.add_subplot(3,5,i+1)
    ax.matshow(df.loc[rndperm[i],feat_cols].values.reshape((28,28*3)).astype(float))

實現PCA：

from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=4)
pca_result = pca.fit_transform(df[feat_cols].values)

其中n_components將決定轉換資料中的主成分。接下來，我們看一下這四個主成分解釋了多少方差：

plt.plot(range(4), pca.explained_variance_ratio_)
plt.plot(range(4), np.cumsum(pca.explained_variance_ratio_))
plt.title("Component-wise and Cumulative Explained Variance")

在上圖中，藍線表示分量解釋的方差，而橙線表示累積解釋的方差。我們只用四個成分就解釋了資料集中約60％的方差。

9. 獨立分量分析（ICA）

獨立分量分析（ICA）基於資訊理論，是最廣泛使用的降維技術之一。PCA和ICA之間的主要區別在於，PCA尋找不相關的因素，而ICA尋找獨立因素。

如果兩個變數不相關，它們之間就沒有線性關係。如果它們是獨立的，它們就不依賴於其他變數。例如，一個人的年齡和他吃了什麼/看了什麼電視無關。

該演算法假設給定變數是一些未知潛在變數的線性混合。它還假設這些潛在變數是相互獨立的，即它們不依賴於其他變數，因此它們被稱為觀察資料的獨立分量。

下圖是ICA和PCA的一個直觀比較：

PCA的等式是x = Wχ。

這裡，

• x是觀察結果

• W是混合矩陣

• χ是來源或獨立成分

現在我們必須找到一個非混合矩陣，使成分儘可能獨立。而測試成分獨立性最常用的方法是非高斯性：

• 根據中心極限定理（Central Limit Theorem），多個獨立隨機變數混合之後會趨向於正態分佈（高斯分佈）。

• 因此，我們可以尋找所有獨立分量中能最大化峰度的分量。

• 一旦峰度被最大化，整個分佈會呈現非高斯分佈，我們也能得到獨立分量。

在Python中實現ICA：

from sklearn.decomposition importFastICA
ICA = FastICA(n_components=3, random_state=12) 
X=ICA.fit_transform(df[feat_cols].values)

10. IOSMAP

程式碼：

from sklearn import manifold 
trans_data = manifold.Isomap(n_neighbors=5, n_components=3, n_jobs=-1).fit_transform(df[feat_cols][:6000].values)

使用的引數：

• n_neighbors：決定每個點的相鄰點數

• n_components：決定流形的座標數

• n_jobs = -1：使用所有可用的CPU核心

視覺化：

plt.figure(figsize=(12,8))
plt.title('Decomposition using ISOMAP')
plt.scatter(trans_data[:,0], trans_data[:,1])
plt.scatter(trans_data[:,1], trans_data[:,2])
plt.scatter(trans_data[:,2], trans_data[:,0])

11. t-SNE

程式碼：

from sklearn.manifold import TSNE 
tsne = TSNE(n_components=3, n_iter=300).fit_transform(df[feat_cols][:6000].values)

視覺化：

plt.figure(figsize=(12,8))
plt.title('t-SNE components')
plt.scatter(tsne[:,0], tsne[:,1])
plt.scatter(tsne[:,1], tsne[:,2])
plt.scatter(tsne[:,2], tsne[:,0])

12. UMAP

程式碼：

import umap
umap_data = umap.UMAP(n_neighbors=5, min_dist=0.3, n_components=3).fit_transform(df[feat_cols][:6000].values)

這裡，

• n_neighbors：確定相鄰點的數量。

• min_dist：控制允許嵌入的緊密程度，較大的值可確保嵌入點的分佈更均勻。

視覺化：

plt.figure(figsize=(12,8))
plt.title('Decomposition using UMAP')
plt.scatter(umap_data[:,0], umap_data[:,1])
plt.scatter(umap_data[:,1], umap_data[:,2])
plt.scatter(umap_data[:,2], umap_data[:,0])

到目前為止，我們已經介紹了12種降維方法，考慮到篇幅，我們沒有仔細介紹後三種方法的原理，感興趣的讀者可以找資料查閱，因為它們中的任何一個都足夠寫一篇專門介紹的長文。本節會對這12種方法做一個總結，簡要介紹它們的優點和缺點。

• 缺失值比率：如果資料集的缺失值太多，我們可以用這種方法減少變數數。

• 低方差濾波：這個方法可以從資料集中識別和刪除常量變數，方差小的變數對目標變數影響不大，所以可以放心刪去。

• 高相關濾波：具有高相關性的一對變數會增加資料集中的多重共線性，所以用這種方法刪去其中一個是有必要的。

• 隨機森林：這是最常用的降維方法之一，它會明確算出資料集中每個特徵的重要性。

• 前向特徵選擇和反向特徵消除：這兩種方法耗時較久，計算成本也都很高，所以只適用於輸入變數較少的資料集。

• 因子分析：這種方法適合資料集中存在高度相關的變數集的情況。

• PCA：這是處理線性資料最廣泛使用的技術之一。

• ICA：我們可以用ICA將資料轉換為獨立的分量，使用更少的分量來描述資料。

• ISOMAP：適合非線性資料處理。

• t-SNE：也適合非線性資料處理，相較上一種方法，這種方法的視覺化更直接。

• UMAP：適用於高維資料，與t-SNE相比，這種方法速度更快。

原文地址：www.analyticsvidhya.com/blog/2018/08/dimensionality-reduction-techniques-python/

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