問題描述

跳蚤國正在大力發展旅遊業，每個城市都被打造成了旅遊景點。
　　許多跳蚤想去其他城市旅遊，但是由於跳得比較慢，它們的願望難以實現。這時，小C聽說有一種叫做火車的交通工具，在鐵路上跑得很快，便抓住了商機，創立了一家鐵路公司，向跳蚤國王請示在每兩個城市之間都修建鐵路。
　　然而，由於小C不會扳道岔，火車到一個城市以後只能保證不原路返回，而會隨機等概率地駛向與這個城市有鐵路連線的另外一個城市。
　　跳蚤國王向廣大居民徵求意見，結果跳蚤們不太滿意，因為這樣修建鐵路以後有可能只遊覽了3個城市（含出發的城市）以後就回來了，它們希望能多遊覽幾個城市。於是跳蚤國王要求小C提供一個方案，使得每隻跳蚤坐上火車後能多遊覽幾個城市才回來。 小C提供了一種方案給跳蚤國王。跳蚤國王想知道這個方案中每個城市的居民旅遊的期望時間（設火車經過每段鐵路的時間都為1），請你來幫跳蚤國王。
輸入格式
　　輸入的第一行包含兩個正整數n、m，其中n表示城市的數量，m表示方案中的鐵路條數。
　　接下來m行，每行包含兩個正整數u、v，表示方案中城市u和城市v之間有一條鐵路。
　　保證方案中無重邊無自環，每兩個城市之間都能經過鐵路直接或間接到達，且火車由任意一條鐵路到任意一個城市以後一定有路可走。
輸出格式
　　輸出n行，第i行包含一個實數

tBi$t_{B_i}$，表示方案B中城市i的居民旅遊的期望時間。你應當輸出足夠多的小數位數，以保證輸出的值和真實值之間的絕對或相對誤差不超過1e-9。
樣例輸入
4 5
1 2
2 3
3 4
4 1
1 3
樣例輸出
3.333333333333
5.000000000000
3.333333333333
5.000000000000
資料規模和約定
　　對於10%的測試點，n <= 10；
　　對於20%的測試點，n <= 12；
　　對於50%的測試點，n <= 16；
　　對於70%的測試點，n <= 19；
　　對於100%的測試點，4 <= k <= n <= 21，1 <= u, v <= n。資料有梯度。

解決過程

仔細一看，這根本就不是最短路問題嘛。
讓我們簡化一下問題
只求 i=1$i=1$的 情形。

問題變成，對於城市1$1$來說，出發回到原點的期望時間是多少？

首先，要明確幾件事情

引理一

對於出發點城市1$1$來說，出發到每個子節點的概率之和（出度）與父節點到本節點的概率之和（入度）相等，且為1。
這裡的出度和入度，都是借用網路流概念。
很顯然，城市1即是起點也是終點。

也就是說，乘客一定會回到原點，即使時間是∞$\mathrm{\infty }$

引理二 加權平均

對於概率p1,p2……pn$p_1,p_2\dots \dots p_n$與相對應的值x1,x2……xn$x_1,x_2\dots \dots x_n$
它們的平均期望應該是

x¯=∑ni=1pi∗xi∑ni=1pi$$\overline{x}=\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i\ast x_i}{\sum _{i=1}^n{p}_i}$$
這個平均期望對應的概率是p=∑i=1npi$$p=\sum _{i=1}^n{p}_i$$

對於某個節點k$k$

到達k$k$的平均期望就是x¯$\overline{x}$,到達k$k$的概率就是p$p$
（如果以父節點的時間計算的話k的平均期望就是x¯+∑ni=1pi∗1∑ni=1pi=x¯+1$\overline{x}+\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i\ast 1}{\sum _{i=1}^n{p}_i}=\overline{x}+1$)

而這道題中有這麼一個性質

性質：子節點不會影響父節點，父節點只會影響子節點。

這個性質可能看起來不怎麼樣。
讓我們回想一下SPFA演算法對Bellman - Ford演算法的最大優化在哪？
對某個節點鬆弛操作後，只有這個節點的子節點受到了影響。
對了
這就是SPFA的核心思想

於是我們可以得出求解城市1的了

步驟

1. 建立兩個陣列，概率p[i]$p[i]$，時間x[i]$x[i]$,i$i$為城市節點。顯然p[1]=100%=1,x[1]=0$p[1]=100\mathrm{\%}=1,x[1]=0$
2. 城市1入隊，指標i$i$指向城市1.
3. 除了城市1，如果p[i]∗x[i]<1E−9(也就是10−9)$p[i]\ast x[i]<1E-9(也就是{10}^{-9})$ 那麼跳到步驟7。否則繼續執行步驟4。
4. 計運算元節點的數量ni$n_i$和平分給子節點的概率P=p[i]ni$P=\frac{p[i]}{n_i}$
5. 對於所有在佇列內的子節點k$k$（如果城市1是子節點那麼也算在佇列內，雖然實際並不在內）,計算並賦值加權平均x[k]=(x[i]+1)∗P+x[k]∗p[k]P+p[k]