最近研究圖形分割演算法，然後就牽扯出了網路流問題中的最大流最小割問題。

反過來學習才是最好的掌握和理解路線：

第一、什麼是網路流問題？

圖中的淺藍色數字，是實際走的流量，並且構成源點到終點的最大流量。

源節點1到節點4為什麼不是7？

因為從節點4流出的水流，加起來才5！ 換句話說，到節點4就流不過去這麼多了。

至於為何是4，而不是5，同樣道理，因為節點3到節點6的容量有限制！

分析到這裡大家可能發現了，即使不按照圖中淺藍色數字分配，也可以找到其他水流分配路徑，使最大水流量達到10。但沒有比10更高的了。

第二、最大流、最小割

上圖網路流就是求解最大流的一個例項。10就是求解的最大流。由此，可以引出最大流的一些基本的定義和概念

可以這樣看，圖就是一種管道，管道有最大通過流量的限制，圖中邊的權值就是所謂的“容量”。同時，注意有唯一的源點和匯點。

這裡需要注意容量和流量的區別。其中f(u,v)的範圍需要額外注意，是 0<= f(u,v) <= c(u,v)，不會出現所謂的負流量。下圖是對可行流的圖示

有了可行流，我們還需要求最大流

解決最大流問題的常用到Ford-Fulkerson方法，之所以稱其方法而不是演算法，是因為在這種思想下包含著若干種時間複雜度不同的實現。

最小割

就是從圖G(V,E)中去除一些邊，使得圖G中源點S到終點T不連通。如果去除的這些邊的權和最小，就是最小割。這個權和可以證明等於網路的最大流量！（很明顯在上圖2中，如果切除邊2->4、3->5，就是一個最小割，兩條邊的權和為7=最大流量7。）

因此  最大流等價於最小割！！！  求解最大流問題，也可以轉化為最小割。

求最大流和求最小割集是兩類不同的演算法。

求解最小割集普遍採用Stoer-Wagner演算法

第三、圖形分割演算法（基於圖論的方法）

圖形切割演算法通過向圖G(V,E)新增S點和T點，將圖中所有的頂點，與S和T建立邊，並根據能量約束方程賦予邊權值。就將圖形分割與最小割問題相關聯！

最後，最小割將圖G分為兩部分，圖中所有頂點分別被劃分到兩個集合S-node、T-node中。此即圖形分割！

Graph cuts是一種十分有用和流行的能量優化演算法，在計算機視覺領域普遍應用於前背景分割（Image segmentation

       首先用一個無向圖G=<V，E>表示要分割的影象，V和E分別是頂點（vertex）和邊（edge）的集合。此處的Graph和普通的Graph稍有不同。而Graph Cuts圖是在普通圖的基礎上多了2個頂點，這2個頂點分別用符號”S”和”T”表示，統稱為終端頂點。其它所有的頂點都必須和這2個頂點相連形成邊集合中的一部分。所以Graph Cuts中有兩種頂點，也有兩種邊。

第一種頂點和邊是：第一種普通頂點對應於影象中的每個畫素。每兩個鄰域頂點（對應於影象中每兩個鄰域畫素）的連線就是一條邊。這種邊也叫n-links。

第二種頂點和邊是：除影象畫素外，還有另外兩個終端頂點，叫S（source：源點，取源頭之意）和T（sink：匯點，取匯聚之意）。每個普通頂點和這2個終端頂點之間都有連線，組成第二種邊。這種邊也叫t-links。

參考的連結：

網路流問題：

http://wenku.baidu.com/view/7ed3c241a8956bec0975e32b.html
http://www.cnblogs.com/ShaneZhang/p/3755479.html

最大流/最小割演算法總結：http://blog.csdn.net/euler1983/article/details/5954650
影象分割：

http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8532111