文章目錄

• BFPRT演算法
• 1. 應用場景
• 2. 基本思想
• 3. 演算法實現
• 4. 複雜度分析
• 5. References

BFPRT演算法

1. 應用場景

線性時間內，從無序列表找到第k小的元素。

2. 基本思想

• 首先把陣列按5個數為一組進行分組，最後不足5個的忽略。對每組數進行排序（如插入排序）求取其中位數。
• 把上一步的所有中位數移到陣列的前面，對這些中位數遞迴呼叫BFPRT演算法求得他們的中位數。
• 將上一步得到的中位數作為劃分的主元進行整個陣列的劃分。
• 判斷第k個數在劃分結果的左邊、右邊還是恰好是劃分結果本身，前兩者遞迴處理，後者直接返回答案。

3. 演算法實現

void bubble_sort(int* a, int left, int right){
	int tmp;
	for(int i=left; i<right; i++){
		for(int j=right; j>i; j--){
			if(a[j] < a[j-1]) tmp = a[j], a[j] = a[j-1], a[j-1] = tmp;
		}
	}
} 

int partition(int* a, int left, int
 
 right, int baseIdx){
	int j = left - 1, tmp; 
	//將基準放於陣列尾部 
	tmp = a[right], a[right] = a[baseIdx], a[baseIdx] = tmp;
	for(int i=left; i<right; i++){
		if(a[i] <= a[right]) tmp = a[i], a[i] = a[++j], a[j] = tmp;
	}
	tmp = a[right], a[right] = a[++j], a[j] = tmp;
	return j;
}

int bfprt(int* a, int
 
 left, int right, int k){
	if(right - left +1 <= 5){ //小於等於5個數，直接排序得到結果 
		bubble_sort(a, left, right);
		return a[left + k -1];
	} 
	int t = left - 1, tmp;  //t:當前替換到前面的中位數的下標 
	for(int st = left, ed; (ed=st+4) <= right; st += 5){
		bubble_sort(a, st, ed);
		//將中位數替換到陣列前面，便於遞迴求取中位數的中位數
		tmp = a[++t], a[t] = a[st+2], a[st+2] = tmp;
	}
	int baseIdx = (left + t) >> 1; //left到t的中位數的下標，作為主元的下標
	bfprt(a, left, t, baseIdx-left + 1); //不關心中位數的值，保證中位數在正確的位置
	int idx = partition(a, left, right, baseIdx), cur = idx - left + 1;
	if(k == cur) return a[idx];
	else if(k < cur) return bfprt(a, left, idx-1, k);
	else return bfprt(a, idx+1, right, k-cur); 
}

4. 複雜度分析

劃分時以5個元素為一組求取中位數，共得到 $n/5$箇中位數，再遞迴求取中位數，複雜度為 $T(n/5)$。

得到的中位數 $x$作為主元進行劃分，在 $n/5$箇中位數中，主元 $x$大於其中 $1/2*n/5=n/10$的中位數，而每個中位數在其本來的5個數的小組中又大於或等於其中的3個數，所以主元 $x$至少大於所有數中的 $n/10*3=3/10*n$個。同理，主元 $x$至少小於所有數中的 $3/10*n$個。即劃分之後，任意一邊的長度至少為 $3/10$，在最壞情況下，每次選擇都選到了 $7/10$的那一部分，則遞迴的複雜度為 $T(7/10*n)$。

在每5個數求中位數和劃分的函式中，進行若干個次線性的掃描，其時間複雜度為 $c*n$，其中 $c$為常數。其總的時間複雜度滿足 $T(n) <= T(n/5) + T(7/10*n) + c * n$。

我們假設 $T(n)=x*n$，其中 $x$不一定是常數（比如 $x$可以為 $n$的倍數，則對應的 $T(n)=O(n^2))$。則有 $x*n <= x*n/5 + x*7/10*n + c*n$，得到 $x<=10*c$。於是可以知道 $x$與 $n$無關， $T(n)<=10*c*n$，為線性時間複雜度演算法。而這又是最壞情況下的分析，故BFPRT可以在最壞情況下以線性時間求得 $n$個數中的第 $k$個數。

5. References

https://www.cnblogs.com/informatics/p/5092741.html